Seja e , para todo . Mostre que é monótona e limitada. Determine .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e para todo . Precisamos mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente) e limitada (tem um valor máximo e mínimo que não ultrapassa). Além disso, queremos encontrar o limite dessa sequência à medida que tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sequências recursivas, propriedades de monotonicidade e limites.

Passo 2

Vamos começar calculando alguns termos da sequência para identificar um padrão. Sabemos que:
Observamos que os valores estão aumentando em direção a 5.

Passo 3

Para mostrar que a sequência é monótona, precisamos provar que cada termo é maior ou igual ao anterior. Ou seja, queremos provar que para todo .
Vamos analisar a diferença entre e :
Queremos que essa diferença seja positiva:
Isso sugere que, se , então . Como começamos com e os termos estão aumentando até se aproximar de 5, a sequência é monótona crescente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada superiormente por 5. Observamos que cada termo está se aproximando de 5, mas nunca ultrapassa esse valor.
Suponha que existe um limite tal que . Então, tomando o limite na relação de recorrência:
Vamos resolver para :
Portanto, o limite da sequência é 5, o que confirma que a sequência está limitada por esse valor.

Resposta

A sequência é monótona crescente, está limitada superiormente por 5 e seu limite quando tende ao infinito é .

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Suponha que e . Mostre que se para todo , então, .
Mostre que .
Mostre que não satisfaz a definição de Sequência de Cauchy.
Dê exemplos de sequências e , de tal modo que: .