Seja
e
, para todo
. Mostre que
é monótona e limitada. Determine
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
e
para todo
. Precisamos mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente) e limitada (tem um valor máximo e mínimo que não ultrapassa). Além disso, queremos encontrar o limite dessa sequência à medida que
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sequências recursivas, propriedades de monotonicidade e limites.
Passo 2
Vamos começar calculando alguns termos da sequência para identificar um padrão. Sabemos que:
Observamos que os valores estão aumentando em direção a 5.
Passo 3
Para mostrar que a sequência é monótona, precisamos provar que cada termo é maior ou igual ao anterior. Ou seja, queremos provar que
para todo
.
Vamos analisar a diferença entre
e
:
Queremos que essa diferença seja positiva:
Isso sugere que, se
, então
. Como começamos com
e os termos estão aumentando até se aproximar de 5, a sequência é monótona crescente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada superiormente por 5. Observamos que cada termo está se aproximando de 5, mas nunca ultrapassa esse valor.
Suponha que existe um limite
tal que
. Então, tomando o limite na relação de recorrência:
Vamos resolver para
:
Portanto, o limite da sequência é 5, o que confirma que a sequência está limitada por esse valor.
Resposta
A sequência
é monótona crescente, está limitada superiormente por 5 e seu limite quando
tende ao infinito é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
. Mostre que se
para todo
, então,
.
Mostre que
.
Mostre que
não satisfaz a definição de Sequência de Cauchy.
Dê exemplos de sequências
e
, de tal modo que:
.