Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    m)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os extremos locais e os pontos de sela da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais e análise da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Vamos precisar usar derivadas parciais e a análise da matriz Hessiana para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para :
Para :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se é um extremo local (máximo ou mínimo) ou um ponto de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais.
Segundas derivadas:
(já que não há termos mistos)
Matriz Hessiana (H):

Passo 5

Calculamos o determinante da Hessiana (D) para o ponto crítico :
Como e , isso indica que o ponto é um máximo local.

Passo 6

Não há outros pontos críticos além de , então não existem pontos de sela para essa função.

Resposta

O ponto é um extremo local (máximo) da função, e não há pontos de sela.

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