Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
m)
m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os extremos locais e os pontos de sela da função
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e análise da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Vamos precisar usar derivadas parciais e a análise da matriz Hessiana para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para
:
Para
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se é um extremo local (máximo ou mínimo) ou um ponto de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais.
Segundas derivadas:
Matriz Hessiana (H):
Passo 5
Calculamos o determinante da Hessiana (D) para o ponto crítico
:
Como
e
, isso indica que o ponto é um máximo local.
Passo 6
Não há outros pontos críticos além de
, então não existem pontos de sela para essa função.
Resposta
O ponto
é um extremo local (máximo) da função, e não há pontos de sela.
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