Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos locais (ou seja, os pontos onde a função tem valor máximo ou mínimo) e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar derivadas parciais e analisar a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa achar os pontos onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para achar os pontos críticos:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 3:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1’), podemos expressar
em função de
:
Substituímos isso na equação (2’):
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Agora, encontramos os valores de
correspondentes:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos são extremos locais ou pontos de sela. Para isso, usamos o Critério de Segunda Derivada para funções de duas variáveis.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Passo 7
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
- Para
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
- Para
:
Como
e
, o ponto
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui:
- Um ponto de sela em
- Um mínimo local em
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