Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos locais (ou seja, os pontos onde a função tem valor máximo ou mínimo) e os pontos de sela da função . Para isso, vamos usar derivadas parciais e analisar a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa achar os pontos onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para achar os pontos críticos:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 3:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1’), podemos expressar em função de :
Substituímos isso na equação (2’):
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Agora, encontramos os valores de correspondentes:
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos são extremos locais ou pontos de sela. Para isso, usamos o Critério de Segunda Derivada para funções de duas variáveis.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:

Passo 7

Vamos calcular para cada ponto crítico.
  • Para :
Como , o ponto é um ponto de sela.
  • Para :
Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui:
  • Um ponto de sela em
  • Um mínimo local em

Exercícios relacionados

Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    n)

Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    m)

Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    b)

Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    g)