Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    i) f(x, y) = 4x - 3x^3 - 2xy^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de calculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Da segunda equação, temos duas possibilidades: ou .
Caso 1:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos dois pontos críticos: e .
Caso 2:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos mais dois pontos críticos: e .

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O determinante da hessiana é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico:
  1. Ponto :
    Como e , esse ponto é um máximo local.
  2. Ponto :
    Como e , esse ponto é um mínimo local.
  3. Ponto :
    Como , esse ponto é um ponto de sela.
  4. Ponto :
    Assim, esse ponto também é um ponto de sela.

Resposta

Os extremos locais e pontos de sela da função são:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
  • Pontos de sela em e

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