Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de calculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Da segunda equação, temos duas possibilidades:
ou
.
Caso 1:
Substituindo
na primeira equação:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Caso 2:
Substituindo
na primeira equação:
Então, temos mais dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O determinante da hessiana é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
-
Ponto
: Comoe , esse ponto é um máximo local. -
Ponto
: Comoe , esse ponto é um mínimo local. -
Ponto
: Como, esse ponto é um ponto de sela. -
Ponto
: Assim, esse ponto também é um ponto de sela.
Resposta
Os extremos locais e pontos de sela da função
são:
- Máximo local em
- Mínimo local em
- Pontos de sela em
e