Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    l) f(x, y) = e^x - x e^y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar seus extremos locais (ou seja, pontos onde a função atinge máximos ou mínimos) e os pontos de sela (pontos que não são nem máximos nem mínimos, mas onde a função muda de concavidade). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora, vamos classificar o ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas:
No ponto :
Calculamos o discriminante :
Como , isso indica que o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um ponto de sela em .

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