Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
n)
n)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função
. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo de derivadas parciais e testando a concavidade através da matriz Hessiana. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver isso passo a passo.
Da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Usando
na equação
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e montar a matriz Hessiana.
As segundas derivadas são:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto crítico
.
Primeiro, calculamos
:
Então:
Então, a matriz Hessiana
é:
Passo 6
Vamos calcular o determinante da matriz Hessiana para ajudar na classificação:
Se o determinante da Hessiana for positivo e
, temos um mínimo local; se for positivo e
, temos um máximo local. Se for negativo, é um ponto de sela.
No nosso caso,
que é negativo, então o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
e não possui extremos locais.
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