Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo de derivadas parciais e testando a concavidade através da matriz Hessiana. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver isso passo a passo.
Da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Usando na equação :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e montar a matriz Hessiana.
As segundas derivadas são:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto crítico .
Primeiro, calculamos :
Então:
Então, a matriz Hessiana é:

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz Hessiana para ajudar na classificação:
Se o determinante da Hessiana for positivo e , temos um mínimo local; se for positivo e , temos um máximo local. Se for negativo, é um ponto de sela.
No nosso caso, que é negativo, então o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um ponto de sela em e não possui extremos locais.

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