Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    b)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função . Isso envolve usar um pouco de Cálculo Multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
E em relação a :

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os pontos onde ambas as derivadas são zero:
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:

Passo 5

Analisando o valor de :
  • Se e , então temos um mínimo local.
  • Se e , então temos um máximo local.
  • Se , então o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, e , o que indica que é um mínimo local da função.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto e não possui pontos de sela.

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    c)

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    g)
Find the unit vector along the line joining point to point .