Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função
. Isso envolve usar um pouco de Cálculo Multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os pontos onde ambas as derivadas são zero:
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 2:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
.
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Passo 5
Analisando o valor de
:
- Se
e , então temos um mínimo local. - Se
e , então temos um máximo local. - Se
, então o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste não é conclusivo.
No nosso caso,
e
, o que indica que
é um mínimo local da função.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
e não possui pontos de sela.
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c)
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n)
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g)
Find the unit vector along the line joining point
to point
.