Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
g)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função
. Isso está relacionado a cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para identificar onde a função atinge valores máximos, mínimos ou tem pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os extremos ou pontos de sela), vamos igualar as derivadas parciais a zero:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
:
Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituindo
em
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um extremo local ou um ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:
Em seguida, calculamos o discriminante
:
Passo 6
Analisando o discriminante:
- Se
e , temos um mínimo local. - Se
e , temos um máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então a função tem um mínimo local no ponto crítico encontrado.
Resposta
A função
tem um mínimo local no ponto
. Não há pontos de sela.