Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    g) f(x, y) = x^2 + y^2 - x*y + x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função . Isso está relacionado a cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para identificar onde a função atinge valores máximos, mínimos ou tem pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os extremos ou pontos de sela), vamos igualar as derivadas parciais a zero:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e :
Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo em :
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Para determinar se esse ponto crítico é um extremo local ou um ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:
Em seguida, calculamos o discriminante :

Passo 6

Analisando o discriminante:
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então a função tem um mínimo local no ponto crítico encontrado.

Resposta

A função tem um mínimo local no ponto . Não há pontos de sela.

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