Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função . Isso está dentro do Cálculo Multivariável, especificamente usando derivadas parciais pra localizar esses pontos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função pra facilitar a vida. Temos:
Podemos dividir cada termo do numerador por :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais. A derivada parcial em relação a ( ) é a taxa de variação de quando é constante, e vice-versa para .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Da primeira equação, temos . Vamos substituir isso na segunda equação:
Simplificando:
Isso nos dá ou . Mas não está no domínio da função original (divisão por zero), então descartamos. Logo, .
Substituindo na expressão para :
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Pra classificar esse ponto crítico, usamos a Matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
A determinante da Hessiana ( ) é dada por:
Substituindo e :
Como e , pelo Teste da Segunda Derivada, temos que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto . Não há pontos de sela identificados para essa função.

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