Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função
. Isso está dentro do Cálculo Multivariável, especificamente usando derivadas parciais pra localizar esses pontos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função pra facilitar a vida. Temos:
Podemos dividir cada termo do numerador por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais. A derivada parcial em relação a
(
) é a taxa de variação de
quando
é constante, e vice-versa para
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Da primeira equação, temos
. Vamos substituir isso na segunda equação:
Simplificando:
Isso nos dá
ou
. Mas
não está no domínio da função original (divisão por zero), então descartamos. Logo,
.
Substituindo
na expressão para
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Pra classificar esse ponto crítico, usamos a Matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
A determinante da Hessiana (
) é dada por:
Substituindo
e
:
Como
e
, pelo Teste da Segunda Derivada, temos que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
. Não há pontos de sela identificados para essa função.
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