Exercício 10: Faça o gráfico de cada função.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 10c: desenhar o gráfico da função
.
Matéria envolvida: Funções trigonométricas, especialmente transformações de gráficos de funções cosseno.
O que vamos precisar: Entender como a multiplicação do
dentro da função cosseno afeta o gráfico, especificamente a amplitude e o período da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função básica
. Essa função tem:
- Amplitude: 1 (valor máximo e mínimo)
- Período:
(tempo que leva para completar um ciclo)
Passo 3
Agora, na nossa função
, o que muda é o coeficiente de
, que é
.
O que isso faz? Esse coeficiente afeta o período da função.
Passo 4
Para encontrar o novo período, usamos a fórmula:
Onde
é o coeficiente de
. No nosso caso,
.
Então, o período da função
é
.
Passo 5
Como o período aumentou, isso significa que o gráfico do cosseno está esticado horizontalmente. Ou seja, leva mais tempo (mais espaço no eixo
) para completar um ciclo completo.
Passo 6
Vamos esboçar o gráfico:
- Ponto de início:
, - Ponto a
do período ( ): - Ponto a
do período ( ): - Ponto a
do período ( ): - Final do período (
):
Passo 7
Com esses pontos, podemos desenhar uma curva suave que começa em (0,1), desce até (2π,-1), e retorna a 1 em (4π). Isso representa um ciclo completo do cosseno esticado horizontalmente.
Resposta
O gráfico da função
é um cosseno com período
, esticado horizontalmente em relação ao cosseno padrão. Ele começa em (0,1), passa por (π,0), alcança o ponto mais baixo em (2π,-1), volta a zero em (3π,0) e retorna a 1 em (4π,1), completando um ciclo completo.
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