Exercício 3. (10 Pontos)Calcule
c) integral[sen 7 x+e^x^2 x] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de em relação a . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, e vamos precisar usar técnicas de integração como a integração direta e a substituição. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral [ sin(7x) + e^x^2 x ] dx = integral sin(7x) dx + integral e^x^2 x , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte: integral sin(7x) dx = -17 cos(7x) + C1 .
Sabemos que a integral de em relação a é mais uma constante. Aqui, .
Então,

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: u = x^2 .
Essa integral parece complicada, mas podemos usar o método de substituição. Vamos definir uma nova variável dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 igual a :
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral e^x^2 x , dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u du
A integral de 12 integral e^u du = 12 e^u + C2 em relação a 12 e^u + C2 = 12 e^x^2 + C2 é simplesmente , então:
Voltando à variável original :

Resposta

Juntando as duas partes, a integral fica:
integral [ sin(7x) + e^x^2 x ] dx = -17 cos(7x) + 12 e^x^2 + C

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