Exercício 4. (10 pontos) Seja . Encontre os pontos de máximo local, mínimo local, ou sela, da função.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente tem a função e precisamos encontrar os pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela dessa função. Para isso, vamos usar o que a gente aprende sobre derivadas parciais e o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos, que são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de sela.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde e .
Para :
Para :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um ponto de máximo, mínimo ou de sela. Para isso, vamos usar a segunda derivada e calcular o discriminante .
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
Agora, o discriminante é dado por:

Passo 5

Com o discriminante e , vamos interpretar o resultado:
  • Se e , o ponto é um mínimo local.
  • Se e , o ponto é um máximo local.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Como e , concluímos que o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto .

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