Exercício 4. (10 pontos) Seja
. Encontre os pontos de máximo local, mínimo local, ou sela, da função.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente tem a função
e precisamos encontrar os pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela dessa função. Para isso, vamos usar o que a gente aprende sobre derivadas parciais e o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos, que são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de sela.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde
e
.
Para
:
Para
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um ponto de máximo, mínimo ou de sela. Para isso, vamos usar a segunda derivada e calcular o discriminante
.
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
Agora, o discriminante
é dado por:
Passo 5
Com o discriminante
e
, vamos interpretar o resultado:
- Se
e , o ponto é um mínimo local. - Se
e , o ponto é um máximo local. - Se
, o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Como
e
, concluímos que o ponto
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
.
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Exercício 2. (10 pontos) Consideremos a região
, dada por
. Seja
e
o sólido de revolução obtido pela rotação de
ao redor do eixo
e
, respectivamente. Calcule o volume dos sólidos
e
.
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e
. Encontre a área da região R.
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.