Exercício 1. (10 pontos) Consideremos a região R compreendida entre os gráficos das funções e . Encontre a área da região R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e , e precisamos encontrar a área da região que fica entre os gráficos delas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integral definida, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas funções se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Isso acontece quando .
Então, vamos igualar as duas funções:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as funções se cruzam:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as funções se cruzam, vamos determinar qual delas está por cima na região entre e . Isso é importante para saber qual função subtrair da outra na integral.
Vamos testar um ponto dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como e , a função está acima da nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral definida para calcular a área entre as curvas. A fórmula geral para a área entre duas funções e , onde está acima de , entre e é:
No nosso caso, , , e . Então:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração:
Substituindo :
Substituindo :
Agora, subtraímos:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Exercício 4. (10 pontos) Seja . Encontre os pontos de máximo local, mínimo local, ou sela, da função.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
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Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
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Exercício 3. (5 pontos) Consideremos a função . Encontre o valor da Derivada direcional de , na direção do vetor , no ponto . Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.