Exercício 1. (10 pontos) Consideremos a região R compreendida entre os gráficos das funções
e
. Encontre a área da região R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções,
e
, e precisamos encontrar a área da região
que fica entre os gráficos delas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integral definida, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas funções se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Isso acontece quando
.
Então, vamos igualar as duas funções:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as funções se cruzam:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as funções se cruzam, vamos determinar qual delas está por cima na região entre
e
. Isso é importante para saber qual função subtrair da outra na integral.
Vamos testar um ponto dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
e
, a função
está acima da
nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral definida para calcular a área entre as curvas. A fórmula geral para a área
entre duas funções
e
, onde
está acima de
, entre
e
é:
No nosso caso,
,
,
e
. Então:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração:
Substituindo
:
Substituindo
:
Agora, subtraímos:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Exercício 4. (10 pontos) Seja
. Encontre os pontos de máximo local, mínimo local, ou sela, da função.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Exercício 3. (5 pontos) Consideremos a função
. Encontre o valor da Derivada direcional de
, na direção do vetor
, no ponto
. Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.