Exercício 3. (5 pontos) Consideremos a função
. Encontre o valor da Derivada direcional de
, na direção do vetor
, no ponto
. Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função
na direção do vetor
no ponto
. Além disso, precisamos verificar se, com base nesse valor, o ponto
é um ponto crítico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o de derivada direcional e gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
-
em :
-
em :
-
em :
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
A derivada direcional de
na direção do vetor
é dada por:
Onde
é o vetor
normalizado para ter comprimento 1.
Passo 6
Primeiro, vamos normalizar o vetor
. O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário é:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
no ponto
é
. Como essa derivada direcional não é zero, podemos concluir que
não é um ponto crítico da função
.
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Exercício 1. (10 pontos) Consideremos a região R compreendida entre os gráficos das funções
e
. Encontre a área da região R.
Resolva as inequações a seguir
(d)
(d)
Resolva as inequações a seguir
(e)
(e)