Exercício 3. (5 pontos) Consideremos a função . Encontre o valor da Derivada direcional de , na direção do vetor , no ponto . Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor no ponto . Além disso, precisamos verificar se, com base nesse valor, o ponto é um ponto crítico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o de derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
  1. em :
  1. em :
  1. em :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A derivada direcional de na direção do vetor é dada por:
á
Onde á é o vetor normalizado para ter comprimento 1.

Passo 6

Primeiro, vamos normalizar o vetor . O comprimento de é:
Então, o vetor unitário é:
á

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de na direção de no ponto é . Como essa derivada direcional não é zero, podemos concluir que não é um ponto crítico da função .

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Exercício 1. (10 pontos) Consideremos a região R compreendida entre os gráficos das funções e . Encontre a área da região R.
Resolva as inequações a seguir
(d)
Resolva as inequações a seguir
(e)