Exercício 3. (5 pontos) Consideremos a função f(x, y, z) = x*y + y*z^2 + x^2*z. Encontre o valor da Derivada direcional de f, na direção do vetor u = (1, -2, 2), no ponto P = (1, 1, 1). Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor no ponto . Além disso, precisamos verificar se, com base nesse valor, o ponto é um ponto crítico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o de derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
  1. em :
  1. em :
  1. em :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A derivada direcional de na direção do vetor é dada por:
á
Onde á é o vetor normalizado para ter comprimento 1.

Passo 6

Primeiro, vamos normalizar o vetor . O comprimento de é:
Então, o vetor unitário é:
á

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de na direção de no ponto é . Como essa derivada direcional não é zero, podemos concluir que não é um ponto crítico da função .

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