Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa usar o GeoGebra para desenhar o gráfico da curva definida pela equação
. Isso faz parte do estudo das coordenadas polares, mais especificamente das curvas chamadas limaçons e cardioides. Vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como inserir essa equação no GeoGebra para visualizar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre coordenadas polares. Ao invés das coordenadas cartesianas (x e y), nas coordenadas polares usamos
e
(ou
) onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo x. A equação que temos,
, define como
varia conforme
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um limaçon. Um limaçon é um tipo de curva polar que pode ter diferentes formas dependendo dos coeficientes na equação. Se a equação for da forma
, dependendo dos valores de
e
, o limaçon pode ter uma dente (cardioide), sem dente, ou com um grande ou pequeno “balão”. No nosso caso,
e
, o que nos leva a uma forma específica.
Passo 4
Agora, vamos para o GeoGebra. Abra o GeoGebra e selecione a calculadora gráfica. No GeoGebra, para plotar uma curva polar, você pode usar a função de entrada polar. Vamos inserir a equação
.
Passo 5
No GeoGebra, digite a equação da seguinte forma:
r(t) = 1 - (1/2)*cos(t)
. Certifique-se de que está na visão polar ou que a opção de plotar equações polares está ativada. O GeoGebra vai automaticamente desenhar a curva correspondente.Passo 6
Depois de inserir a equação, você verá a curva sendo desenhada na tela. Essa curva específica é um limaçon com um dente, também conhecido como cardioide. Observe como ela se apresenta: começa no ponto mais próximo da origem e vai se afastando, formando uma espécie de “coração” dependendo dos coeficientes.
Passo 7
Para analisar melhor, você pode ajustar a janela de visualização no GeoGebra para ver toda a curva claramente. Use as ferramentas de zoom e arraste a visualização conforme necessário. Isso ajuda a entender as propriedades da curva, como simetria e pontos especiais.
Resposta
Pronto! Você conseguiu plotar a curva
no GeoGebra. A curva é um limaçon com um dente (cardioide), visualmente representada pela forma característica de “coração” que você observou.
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. Encontre o valor da Derivada direcional de
, na direção do vetor
, no ponto
. Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.
Resolva as inequações a seguir
(d)
(d)