Exercício 10. Seja tal que , para todo com .
(b) Mostre que se existir então é diferenciável em e , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que satisfaz a equação para todos os reais e , e sabemos que . O exercício quer que a gente mostre que, se a derivada de em 0, denotada por , existir, então é diferenciável em todo o domínio e que para todo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades de funções que satisfazem esse tipo de equação funcional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação funcional . Isso nos diz que a função no ponto é igual ao produto de e . Esse tipo de equação é típica de funções exponenciais, onde para algum constante . Mas, vamos não assumir isso de cara e sim trabalhar com as propriedades que temos.

Passo 3

Sabemos que para uma função ser diferenciável em um ponto, sua derivada naquele ponto deve existir. O exercício nos diz que existe, então vamos usar esse ponto para explorar a diferenciabilidade em todo o . Vamos começar encontrando uma expressão para a derivada usando a definição de derivada.

Passo 4

A definição de derivada em um ponto é:
Usando a equação funcional , substituímos na definição:
Aqui, a gente factorizou que é constante em relação a .

Passo 5

Agora, olhamos para o limite . Vamos avaliar esse limite em :
Como , podemos dividir ambos os lados por e reescrever usando a equação funcional com e :
Isso implica que , já que .

Passo 6

Com , o limite para fica:
Logo, voltando à expressão para :
Isso mostra que a derivada de em qualquer ponto é igual a vezes .

Passo 7

Então, concluímos que é diferenciável em todo e que a derivada é dada por:
Isso completa a prova que o exercício nos pediu.

Resposta

Mostramos que, se existe , então é diferenciável em todo e para todo .

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© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico num ponto .
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