Exercício 10. Seja
tal que
, para todo
com
.
(b) Mostre que se existir
então
é diferenciável em
e
, para todo
.
(b) Mostre que se existir
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
que satisfaz a equação
para todos os reais
e
, e sabemos que
. O exercício quer que a gente mostre que, se a derivada de
em 0, denotada por
, existir, então
é diferenciável em todo o domínio
e que
para todo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades de funções que satisfazem esse tipo de equação funcional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação funcional
. Isso nos diz que a função
no ponto
é igual ao produto de
e
. Esse tipo de equação é típica de funções exponenciais, onde
para algum constante
. Mas, vamos não assumir isso de cara e sim trabalhar com as propriedades que temos.
Passo 3
Sabemos que para uma função ser diferenciável em um ponto, sua derivada naquele ponto deve existir. O exercício nos diz que
existe, então vamos usar esse ponto para explorar a diferenciabilidade em todo o
. Vamos começar encontrando uma expressão para a derivada
usando a definição de derivada.
Passo 4
A definição de derivada em um ponto
é:
Usando a equação funcional
, substituímos na definição:
Aqui, a gente factorizou
que é constante em relação a
.
Passo 5
Agora, olhamos para o limite
. Vamos avaliar esse limite em
:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e reescrever
usando a equação funcional com
e
:
Isso implica que
, já que
.
Passo 6
Com
, o limite para
fica:
Logo, voltando à expressão para
:
Isso mostra que a derivada de
em qualquer ponto
é igual a
vezes
.
Passo 7
Então, concluímos que
é diferenciável em todo
e que a derivada
é dada por:
Isso completa a prova que o exercício nos pediu.
Resposta
Mostramos que, se existe
, então
é diferenciável em todo
e
para todo
.
Exercícios relacionados
Exercício 14. Sejam
e
duas funções tais que
e
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Exercício 11. Seja
uma função diferenciável em
. Mostre que:
© Se é
-periódica, então
é
-periódica.
© Se
Exercício 19. Considere a função
. Determine:
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico num ponto .
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico num ponto
Exercício 11. Seja
uma função diferenciável em
. Mostre que:
(a) Se f é par, então f
(a) Se f é par, então f