Exercício 11. Seja
uma função diferenciável em
. Mostre que:
© Se
é
-periódica, então
é
-periódica.
© Se
Passo 1
Beleza! Vamos ver o que o enunciado está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável em todo o conjunto dos números reais. A questão quer que a gente mostre que, se essa função é
-periódica, ou seja, ela se repete a cada intervalo de comprimento
, então a sua derivada
também é
-periódica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como as propriedades da derivação se comportam em funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser
-periódica. Isso quer dizer que para todo número real
, a função satisfaz a igualdade:
Ou seja, se você deslocar o gráfico da função
em
unidades para a direita (ou esquerda), ele vai se sobrepor exatamente a si mesmo.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que a derivada
também tem essa propriedade de periodicidade. Ou seja, queremos mostrar que para todo
:
Passo 4
Para isso, vamos usar a definição de derivada. A derivada de
em um ponto
é definida como:
Passo 5
Como
é
-periódica, sabemos que
. Vamos aplicar isso na expressão da derivada em
:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro do limite, temos:
Passo 7
Como
é
-periódica, podemos substituir
e
. Assim:
Passo 8
Observamos que a expressão resultante é exatamente a definição da derivada de
em
:
Resposta
Portanto, mostramos que se
é
-periódica, então a sua derivada
também é
-periódica.
Exercícios relacionados
Exercício 9. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
.
(b)
(b)
Exercício 8. Calcule
nos seguintes casos:
(q) ;
(q)
Exercício 14. Sejam
e
duas funções tais que
e
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Exercício 10. Seja
tal que
, para todo
com
.
(b) Mostre que se existir então
é diferenciável em
e
, para todo
.
(b) Mostre que se existir