Exercício 11. Seja f: R -> R uma função diferenciável em R. Mostre que:
© Se f é tau-periódica, então f' é tau-periódica.

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que o enunciado está pedindo. Temos uma função que é diferenciável em todo o conjunto dos números reais. A questão quer que a gente mostre que, se essa função é -periódica, ou seja, ela se repete a cada intervalo de comprimento , então a sua derivada também é -periódica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como as propriedades da derivação se comportam em funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser -periódica. Isso quer dizer que para todo número real , a função satisfaz a igualdade:
Ou seja, se você deslocar o gráfico da função em unidades para a direita (ou esquerda), ele vai se sobrepor exatamente a si mesmo.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que a derivada também tem essa propriedade de periodicidade. Ou seja, queremos mostrar que para todo :

Passo 4

Para isso, vamos usar a definição de derivada. A derivada de em um ponto é definida como:

Passo 5

Como é -periódica, sabemos que . Vamos aplicar isso na expressão da derivada em :

Passo 6

Simplificando a expressão dentro do limite, temos:

Passo 7

Como é -periódica, podemos substituir e . Assim:

Passo 8

Observamos que a expressão resultante é exatamente a definição da derivada de em :

Resposta

Portanto, mostramos que se é -periódica, então a sua derivada também é -periódica.

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