Exercício 11. Seja uma função diferenciável em . Mostre que:
© Se é -periódica, então é -periódica.

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que o enunciado está pedindo. Temos uma função que é diferenciável em todo o conjunto dos números reais. A questão quer que a gente mostre que, se essa função é -periódica, ou seja, ela se repete a cada intervalo de comprimento , então a sua derivada também é -periódica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como as propriedades da derivação se comportam em funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser -periódica. Isso quer dizer que para todo número real , a função satisfaz a igualdade:
Ou seja, se você deslocar o gráfico da função em unidades para a direita (ou esquerda), ele vai se sobrepor exatamente a si mesmo.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que a derivada também tem essa propriedade de periodicidade. Ou seja, queremos mostrar que para todo :

Passo 4

Para isso, vamos usar a definição de derivada. A derivada de em um ponto é definida como:

Passo 5

Como é -periódica, sabemos que . Vamos aplicar isso na expressão da derivada em :

Passo 6

Simplificando a expressão dentro do limite, temos:

Passo 7

Como é -periódica, podemos substituir e . Assim:

Passo 8

Observamos que a expressão resultante é exatamente a definição da derivada de em :

Resposta

Portanto, mostramos que se é -periódica, então a sua derivada também é -periódica.

Exercícios relacionados

Exercício 9. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto .
(b)
Exercício 8. Calcule nos seguintes casos:
(q) ;
Exercício 14. Sejam e duas funções tais que e . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de em .
Exercício 10. Seja tal que , para todo com .
(b) Mostre que se existir então é diferenciável em e , para todo .