Exercício 14. Sejam e duas funções tais que e . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de em .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas funções, e , com alguns valores específicos fornecidos: , , e . O objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função composta no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de no ponto onde . Substituímos por 0 na função composta:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função composta no ponto para determinar a inclinação da reta tangente. Usamos a regra da cadeia para derivadas, que diz que:
Aplicando isso no ponto :
Sabemos que , e . Substituindo esses valores:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a equação da reta tangente na forma:
Onde é a inclinação e é o ponto de tangência. Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é:

Exercícios relacionados

Exercício 11. Seja uma função diferenciável em . Mostre que:
© Se é -periódica, então é -periódica.
Exercício 9. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto .
(b)
Exercício 10. Seja tal que , para todo com .
(b) Mostre que se existir então é diferenciável em e , para todo .
Exercício 19. Considere a função . Determine:
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico num ponto .