Exercício 14. Sejam f e g duas funções tais que f(2)=5, f'(2)=1/2, g(0)=2 e g'(0)=3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = f(g(x)) em x = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas funções, e , com alguns valores específicos fornecidos: , , e . O objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função composta no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de no ponto onde . Substituímos por 0 na função composta:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função composta no ponto para determinar a inclinação da reta tangente. Usamos a regra da cadeia para derivadas, que diz que:
Aplicando isso no ponto :
Sabemos que , e . Substituindo esses valores:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a equação da reta tangente na forma:
Onde é a inclinação e é o ponto de tangência. Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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