Exercício 11. Seja
uma função diferenciável em
. Mostre que:
(a) Se f é par, então f
(a) Se f é par, então f
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se uma função
é par e diferenciável em todos os números reais, então a sua derivada
é ímpar. Isso envolve entender o que são funções pares e ímpares, além de usar a regra de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa uma função ser par ou ímpar:
- Função par: satisfaz
para todo no domínio. Um exemplo clássico é . - Função ímpar: satisfaz
para todo no domínio. Um exemplo é .
Passo 3
Agora, vamos usar o fato de que
é uma função par. Então, temos que:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a
. Lembrando que a derivada de
usando a regra da cadeia é:
E a derivada de
é simplesmente
.
Passo 5
Aplicando a derivada em ambos os lados:
Passo 6
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 7
O que acabamos de obter é exatamente a definição de uma função ímpar. Portanto, mostramos que se
é par, então sua derivada
é ímpar.
Resposta
Se
é uma função par e diferenciável em
, então sua derivada
é uma função ímpar.
Exercícios relacionados
Exercício 19. Considere a função
. Determine:
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico num ponto .
© Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico num ponto
Exercício 10. Seja
tal que
, para todo
com
.
(b) Mostre que se existir então
é diferenciável em
e
, para todo
.
(b) Mostre que se existir
Exercício 1. Em cada um dos itens abaixo s é a posição no instante
de um objeto movendo sobre uma reta. Determine a velocidade no instante to dado.
(a) em
.
(a)
Exercício 2. Em cada um dos itens abaixo encontre a equação da reta tangente pelo ponto
do gráfico, sendo dados:
(b) ;
(b)