Exercício 11. Seja f: R -> R uma função diferenciável em R. Mostre que:
(a) Se f é par, então f

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se uma função é par e diferenciável em todos os números reais, então a sua derivada é ímpar. Isso envolve entender o que são funções pares e ímpares, além de usar a regra de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma função ser par ou ímpar:
  • Função par: satisfaz para todo no domínio. Um exemplo clássico é .
  • Função ímpar: satisfaz para todo no domínio. Um exemplo é .

Passo 3

Agora, vamos usar o fato de que é uma função par. Então, temos que:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a . Lembrando que a derivada de usando a regra da cadeia é:
E a derivada de é simplesmente .

Passo 5

Aplicando a derivada em ambos os lados:

Passo 6

Isolando :
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 7

O que acabamos de obter é exatamente a definição de uma função ímpar. Portanto, mostramos que se é par, então sua derivada é ímpar.

Resposta

Se é uma função par e diferenciável em , então sua derivada é uma função ímpar.

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