Exercício 10. Seja
. Mostre que:
b) Defina
e mostre que
converge.
b) Defina
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente definir uma sequência
onde cada termo é a soma de potências de um número
que está entre 0 e 1. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela se aproxima de um valor fixo conforme
aumenta. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências geométricas e como calcular seus limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a sequência
. Ela está definida como:
Observa que
, então na verdade estamos somando
várias vezes com potências crescentes. Isso forma uma sequência geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula da soma de uma sequência geométrica finita. Para uma sequência onde cada termo é
, de
até
, a soma
é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a calcular a soma dos termos da sequência até o termo
.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que
converge. Para isso, precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da soma
. Vamos fazer isso:
Como
está entre 0 e 1,
tende a 0 quando
cresce. Então:
Resposta
Portanto, a sequência
converge para
.
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Exercício 10. Seja
. Mostre que:
a) ,
a)
Exercício 9. (LIMA, 2014) Prove que para todo
é fechado.
Exercício 11. Sejam
uma sequência e
. Prove que
a) converge, então
;
a)
Exercício 12. (LIMA, 2014) Demonstre que dados
, temos
.