Exercício 10. Seja a em (0,1). Mostre que:
b) Defina x_n = a + a^1 + ... + a^n e mostre que x_n converge.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente definir uma sequência onde cada termo é a soma de potências de um número que está entre 0 e 1. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela se aproxima de um valor fixo conforme aumenta. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências geométricas e como calcular seus limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a sequência . Ela está definida como:
Observa que , então na verdade estamos somando várias vezes com potências crescentes. Isso forma uma sequência geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por .

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula da soma de uma sequência geométrica finita. Para uma sequência onde cada termo é , de até , a soma é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a calcular a soma dos termos da sequência até o termo .

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que converge. Para isso, precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da soma . Vamos fazer isso:
Como está entre 0 e 1, tende a 0 quando cresce. Então:

Resposta

Portanto, a sequência converge para .

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