Exercício 10. Seja . Mostre que:
a) ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o número que está entre 0 e 1, e precisamos mostrar que, conforme a gente aumenta o expoente , o valor de vai chegando cada vez mais perto de 0. A matéria aqui envolve limites e potências de números fracionários. Vamos precisar entender como potências funcionam quando a base é um número menor que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando você tem um número entre 0 e 1 e o multiplica por ele mesmo várias vezes, o resultado vai diminuindo. Por exemplo, se , então:
E assim por diante. Cada vez que multiplicamos por 0,5, o número fica menor.

Passo 3

Agora, para formalizar isso, a gente utiliza o conceito de limite. O limite de uma sequência quando tende ao infinito significa que a gente quer saber para onde essa sequência está se aproximando conforme fica muito grande.

Passo 4

Sabemos que se , cada multiplicação por reduz o valor atual da sequência. Portanto, conforme aumenta, fica cada vez menor, aproximando-se cada vez mais de zero.

Passo 5

Matematicamente, podemos dizer que:
Isso mostra que, de fato, conforme cresce sem limite, se aproxima de zero.

Resposta

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Mostre que
ã
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b) Defina e mostre que converge.
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a) converge, então ;