Exercício 10. Seja
. Mostre que:
a)
,
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o número
que está entre 0 e 1, e precisamos mostrar que, conforme a gente aumenta o expoente
, o valor de
vai chegando cada vez mais perto de 0. A matéria aqui envolve limites e potências de números fracionários. Vamos precisar entender como potências funcionam quando a base é um número menor que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando você tem um número entre 0 e 1 e o multiplica por ele mesmo várias vezes, o resultado vai diminuindo. Por exemplo, se
, então:
E assim por diante. Cada vez que multiplicamos por 0,5, o número fica menor.
Passo 3
Agora, para formalizar isso, a gente utiliza o conceito de limite. O limite de uma sequência
quando
tende ao infinito significa que a gente quer saber para onde essa sequência está se aproximando conforme
fica muito grande.
Passo 4
Sabemos que se
, cada multiplicação por
reduz o valor atual da sequência. Portanto, conforme
aumenta,
fica cada vez menor, aproximando-se cada vez mais de zero.
Passo 5
Matematicamente, podemos dizer que:
Isso mostra que, de fato, conforme
cresce sem limite,
se aproxima de zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Exercício 9. (LIMA, 2014) Prove que para todo
é fechado.
Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam
, e
Mostre que
Exercício 10. Seja
. Mostre que:
b) Defina e mostre que
converge.
b) Defina
Exercício 11. Sejam
uma sequência e
. Prove que
a) converge, então
;
a)