Exercício 12. (LIMA, 2014) Demonstre que dados , temos .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos e que são subconjuntos dos números reais . Queremos demonstrar que o conjunto de pontos acumulados de é igual à união dos pontos acumulados de e de . Ou seja, mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos acumulados e como eles se comportam em uniões de conjuntos.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é um ponto acumulado. Um ponto é um ponto acumulado de um conjunto se toda vizinhança de contém pelo menos um ponto de diferente de . O conjunto de todos os pontos acumulados de é denotado por .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que qualquer ponto acumulado de está em e vice-versa. Vamos fazer isso em duas partes.

Passo 4

Parte 1: Mostraremos que .
Seja um ponto acumulado de . Isso significa que qualquer intervalo ao redor de contém pelo menos um ponto de diferente de . Esse ponto pode estar em ou em . Portanto, deve ser um ponto acumulado de ou de , ou seja, ou . Assim, .

Passo 5

Parte 2: Mostraremos que .
Seja um ponto em . Isso significa que é um ponto acumulado de ou de . Suponha, por exemplo, que é um ponto acumulado de . Então, qualquer intervalo ao redor de contém pontos de diferentes de . Como , esses pontos também pertencem a . Portanto, é um ponto acumulado de , ou seja, .

Passo 6

Como mostramos que e , podemos concluir que:

Resposta

Demonstramos que para quaisquer conjuntos .

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Exercício 11. Sejam uma sequência e . Prove que
a) converge, então ;
Exercício 10. Seja . Mostre que:
b) Defina e mostre que converge.
Exercício 13. (FIGUEIREDO, 1996) 8. Sejam um intervalo e e funções lipschitzianas. Mostre que é lipschitziana. Se for limitado, mostre que é lipschitziana. Mostre, através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se não for limitado.
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
  1. não é ponto interior de ;