Exercício 12. (LIMA, 2014) Demonstre que dados
, temos
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos
e
que são subconjuntos dos números reais
. Queremos demonstrar que o conjunto de pontos acumulados de
é igual à união dos pontos acumulados de
e de
. Ou seja, mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos acumulados e como eles se comportam em uniões de conjuntos.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é um ponto acumulado. Um ponto
é um ponto acumulado de um conjunto
se toda vizinhança de
contém pelo menos um ponto de
diferente de
. O conjunto de todos os pontos acumulados de
é denotado por
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que qualquer ponto acumulado de
está em
e vice-versa. Vamos fazer isso em duas partes.
Passo 4
Parte 1: Mostraremos que
.
Seja
um ponto acumulado de
. Isso significa que qualquer intervalo ao redor de
contém pelo menos um ponto de
diferente de
. Esse ponto pode estar em
ou em
. Portanto,
deve ser um ponto acumulado de
ou de
, ou seja,
ou
. Assim,
.
Passo 5
Parte 2: Mostraremos que
.
Seja
um ponto em
. Isso significa que
é um ponto acumulado de
ou de
. Suponha, por exemplo, que
é um ponto acumulado de
. Então, qualquer intervalo ao redor de
contém pontos de
diferentes de
. Como
, esses pontos também pertencem a
. Portanto,
é um ponto acumulado de
, ou seja,
.
Passo 6
Como mostramos que
e
, podemos concluir que:
Resposta
Demonstramos que
para quaisquer conjuntos
.
Exercícios relacionados
Exercício 11. Sejam
uma sequência e
. Prove que
a) converge, então
;
a)
Exercício 10. Seja
. Mostre que:
b) Defina e mostre que
converge.
b) Defina
Exercício 13. (FIGUEIREDO, 1996) 8. Sejam
um intervalo e
e
funções lipschitzianas. Mostre que
é lipschitziana. Se
for limitado, mostre que
é lipschitziana. Mostre, através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se
não for limitado.
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
-
não é ponto interior de ;