Exercício 9. (LIMA, 2014) Prove que para todo
é fechado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que, para qualquer conjunto
dentro dos números reais
, o conjunto de pontos acumulados de
, denotado por
, é fechado. Isso está dentro do estudo de Topologia ou Análise Matemática, especificamente sobre conjuntos fechados e pontos de acumulação. Para resolver, vamos precisar entender o que são conjuntos fechados e pontos acumulados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Ou seja, se todo ponto que “aproxima” de
também está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um ponto de acumulação. Um ponto
é um ponto de acumulação de
se, em todo intervalo ao redor de
, por menor que seja, existe pelo menos um ponto de
diferente de
.
Passo 4
Queremos provar que
é fechado. Isso significa que todo ponto de acumulação de
também está em
.
Passo 5
Vamos assumir que temos um ponto
que é um ponto de acumulação de
. Precisamos mostrar que
está em
.
Passo 6
Como
é um ponto de acumulação de
, em todo intervalo ao redor de
, existem pontos de
diferentes de
. Isso implica que há sequências de pontos em
que convergem para
.
Passo 7
Portanto,
é um ponto de acumulação de
, ou seja,
. Isso mostra que todo ponto de acumulação de
está em
, o que significa que
é fechado.
Resposta
Assim, provamos que para todo
,
é fechado.