Exercício 9. (LIMA, 2014) Prove que para todo X ⊆ R, X' é fechado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que, para qualquer conjunto dentro dos números reais , o conjunto de pontos acumulados de , denotado por , é fechado. Isso está dentro do estudo de Topologia ou Análise Matemática, especificamente sobre conjuntos fechados e pontos de acumulação. Para resolver, vamos precisar entender o que são conjuntos fechados e pontos acumulados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Ou seja, se todo ponto que “aproxima” de também está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um ponto de acumulação. Um ponto é um ponto de acumulação de se, em todo intervalo ao redor de , por menor que seja, existe pelo menos um ponto de diferente de .

Passo 4

Queremos provar que é fechado. Isso significa que todo ponto de acumulação de também está em .

Passo 5

Vamos assumir que temos um ponto que é um ponto de acumulação de . Precisamos mostrar que está em .

Passo 6

Como é um ponto de acumulação de , em todo intervalo ao redor de , existem pontos de diferentes de . Isso implica que há sequências de pontos em que convergem para .

Passo 7

Portanto, é um ponto de acumulação de , ou seja, . Isso mostra que todo ponto de acumulação de está em , o que significa que é fechado.

Resposta

Assim, provamos que para todo , é fechado.

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