Exercício 11. Sejam uma sequência e . Prove que
a) converge, então ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sequências e séries. Temos uma sequência e definimos . A gente precisa provar que, se a sequência converge, então o limite de é zero. Para isso, vamos usar conceitos básicos de limites e propriedades das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência convergir. Quando dizemos que converge, isso quer dizer que, conforme aumenta, se aproxima de um número fixo, digamos . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos analisar como a sequência se comporta quando aumenta. Observamos que cada termo é igual a mais o próximo termo da sequência :

Passo 4

Como converge para , também a sequência converge para . Então, podemos escrever:

Passo 5

Substituindo os limites, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira, o limite de precisa ser zero:

Resposta

A sequência converge para 0, ou seja, .

Exercícios relacionados

Exercício 10. Seja . Mostre que:
b) Defina e mostre que converge.
Exercício 10. Seja . Mostre que:
a) ,
Exercício 12. (LIMA, 2014) Demonstre que dados , temos .
Exercício 13. (FIGUEIREDO, 1996) 8. Sejam um intervalo e e funções lipschitzianas. Mostre que é lipschitziana. Se for limitado, mostre que é lipschitziana. Mostre, através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se não for limitado.