Exercício 11. Sejam (an) uma sequência e xn=a+a^1+cdots+a^n. Prove que
a) Se(xn) converge, então lim an=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sequências e séries. Temos uma sequência e definimos . A gente precisa provar que, se a sequência converge, então o limite de é zero. Para isso, vamos usar conceitos básicos de limites e propriedades das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência limn to infty xn = L convergir. Quando dizemos que converge, isso quer dizer que, conforme aumenta, se aproxima de um número fixo, digamos . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos analisar como a sequência xn+1 = xn + an+1 se comporta quando aumenta. Observamos que cada termo é igual a mais o próximo termo da sequência :

Passo 4

Como limn to infty xn+1 = limn to infty (xn + an+1) = L converge para , também a sequência converge para . Então, podemos escrever:

Passo 5

Substituindo os limites, temos:
L = L + limn to infty an+1
Para que essa igualdade seja verdadeira, o limite de limn to infty an+1 = 0 precisa ser zero:

Resposta

A sequência converge para 0, ou seja, .

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