Exercício 11. Sejam
uma sequência e
. Prove que
a)
converge, então
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sequências e séries. Temos uma sequência
e definimos
. A gente precisa provar que, se a sequência
converge, então o limite de
é zero. Para isso, vamos usar conceitos básicos de limites e propriedades das séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência
convergir. Quando dizemos que
converge, isso quer dizer que, conforme
aumenta,
se aproxima de um número fixo, digamos
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar como a sequência
se comporta quando
aumenta. Observamos que cada termo
é igual a
mais o próximo termo da sequência
:
Passo 4
Como
converge para
, também a sequência
converge para
. Então, podemos escrever:
Passo 5
Substituindo os limites, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira, o limite de
precisa ser zero:
Resposta
A sequência
converge para 0, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Exercício 10. Seja
. Mostre que:
b) Defina e mostre que
converge.
b) Defina
Exercício 10. Seja
. Mostre que:
a) ,
a)
Exercício 12. (LIMA, 2014) Demonstre que dados
, temos
.
Exercício 13. (FIGUEIREDO, 1996) 8. Sejam
um intervalo e
e
funções lipschitzianas. Mostre que
é lipschitziana. Se
for limitado, mostre que
é lipschitziana. Mostre, através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se
não for limitado.