Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam
, e
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é mostrar que, dado um conjunto aberto
, os conjuntos
,
e
também são abertos. Aqui, estamos trabalhando com funções reais
,
e
definidas por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre continuidade e abertos na reta real.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pré-imagem de um conjunto aberto por uma função contínua é também um conjunto aberto. Isso é uma propriedade fundamental em topologia: funções contínuas preservam abertos.
Então, nosso objetivo é mostrar que as funções
,
e
são contínuas. Se conseguirmos provar isso, então a pré-imagem de qualquer conjunto aberto
por essas funções será aberta.
Passo 3
Vamos começar com a função
. Essa é uma função afim, que é uma combinação linear de
. Funções lineares e afins são conhecidas por serem contínuas em todo o seu domínio, que neste caso é
.
Portanto,
é contínua.
Passo 4
Agora, vamos para a função
. Essa é uma função polinomial de grau 2. De modo geral, polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto,
é contínua em
.
Passo 5
Por fim, temos a função
. Assim como
,
é uma função polinomial, desta vez de grau 3. Novamente, polinômios são contínuos em todo o seu domínio, então
também é contínua em
.
Passo 6
Agora que estabelecemos que
,
e
são contínuas, podemos concluir que para qualquer conjunto aberto
, as pré-imagens
,
e
serão também abertos. Isso segue diretamente da propriedade de funções contínuas que preservam a abertura dos conjuntos.
Resposta
Portanto, para todo conjunto aberto
, os conjuntos
,
e
são abertos.
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. Mostre que:
a) ,
a)