Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam a, b in R, a neq 0, e
& f, g, h: R R & x stackrelfmapsto a x+b & x stackrelgstackrel harpoonup x^2 & x stackrelhh x^3
Mostre que
f^-1(A), g^-1(A) e h^-1(A) são abertos, para cada A subseteq R aberto ã

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é mostrar que, dado um conjunto aberto f(x) &= a x + b g(x) &= x^2 h(x) &= x^3 , os conjuntos , e também são abertos. Aqui, estamos trabalhando com funções reais , e definidas por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre continuidade e abertos na reta real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pré-imagem de um conjunto aberto por uma função contínua é também um conjunto aberto. Isso é uma propriedade fundamental em topologia: funções contínuas preservam abertos.
Então, nosso objetivo é mostrar que as funções , e são contínuas. Se conseguirmos provar isso, então a pré-imagem de qualquer conjunto aberto por essas funções será aberta.

Passo 3

Vamos começar com a função . Essa é uma função afim, que é uma combinação linear de . Funções lineares e afins são conhecidas por serem contínuas em todo o seu domínio, que neste caso é .
Portanto, é contínua.

Passo 4

Agora, vamos para a função . Essa é uma função polinomial de grau 2. De modo geral, polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto, é contínua em .

Passo 5

Por fim, temos a função . Assim como , é uma função polinomial, desta vez de grau 3. Novamente, polinômios são contínuos em todo o seu domínio, então também é contínua em .

Passo 6

Agora que estabelecemos que , e são contínuas, podemos concluir que para qualquer conjunto aberto , as pré-imagens , e serão também abertos. Isso segue diretamente da propriedade de funções contínuas que preservam a abertura dos conjuntos.

Resposta

Portanto, para todo conjunto aberto , os conjuntos , e são abertos.

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