Exercício 11. Seja
uma função diferenciável em
. Mostre que:
(b) Se
é ímpar, então
é par.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que se uma função
é ímpar, então a sua derivada
é par. Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas e propriedades de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções ímpares e pares, além de como derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função ímpar. Uma função
é dita ímpar se ela satisfaz a condição:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função
é par se:
Ou seja, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 4
Queremos mostrar que se
é ímpar, então sua derivada
é par. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação que define a função ímpar.
Passo 5
Começamos com a condição da função ímpar:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembrando da regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Derivando o lado direito:
Então, temos:
Passo 7
Simplificando a equação acima:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Essa última equação mostra que a derivada de
satisfaz a condição de uma função par, ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que se
é uma função ímpar, então sua derivada
é uma função par.
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nos seguintes casos:
(o) ;
(o)
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nos seguintes casos:
© ;
©
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. Determine:
(g) Usando as informações obtidas de (1-6) você consegue esboçar o gráfico de .
(g) Usando as informações obtidas de (1-6) você consegue esboçar o gráfico de
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(b) em
.
(b)