Exercício 11. Seja f: R -> R uma função diferenciável em R. Mostre que:
(b) Se f é ímpar, então f' é par.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que se uma função f é ímpar, então a sua derivada f' é par. Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas e propriedades de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções ímpares e pares, além de como derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função ímpar. Uma função f é dita ímpar se ela satisfaz a condição:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função f é par se:
Ou seja, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Queremos mostrar que se f é ímpar, então sua derivada f' é par. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação que define a função ímpar.

Passo 5

Começamos com a condição da função ímpar:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x. Lembrando da regra da cadeia, a derivada de em relação a x é .

Passo 6

Derivando o lado direito:
Então, temos:

Passo 7

Simplificando a equação acima:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 8

Essa última equação mostra que a derivada de f satisfaz a condição de uma função par, ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que se f é uma função ímpar, então sua derivada f' é uma função par.

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