Exercício 19. Considere a função . Determine:
(g) Usando as informações obtidas de (1-6) você consegue esboçar o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a função e, usando as informações que já encontramos nos itens anteriores (1 a 6), vamos tentar desenhar o gráfico dessa função. Isso envolve entender como a função se comporta, onde ela cresce ou decresce, onde ela tem máximo ou mínimo, e outros detalhes importantes para fazer um esboço bem legal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para desenhar o gráfico de uma função, é importante saber onde ela cruza os eixos, seus pontos críticos (onde a derivada é zero), e o comportamento nas extremidades (quando vai para infinito positivo ou negativo).

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção com o eixo . Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o gráfico passa pela origem .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de para os quais :
Então, as raízes são .

Passo 5

Vamos calcular a derivada da função para encontrar os pontos críticos, que nos dizem onde a função tem máximos ou mínimos locais. A derivada de em relação a é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos pontos críticos em e .

Passo 6

Vamos determinar a concavidade da função calculando a segunda derivada:
Analisando a segunda derivada:
  • Se (ou seja, ), a função é côncava para cima.
  • Se (ou seja, ), a função é côncava para baixo.
Isso nos ajuda a entender a forma geral do gráfico.

Passo 7

Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  1. Interseções: O gráfico passa por , e .
  2. Pontos Críticos: Em e , a função tem um máximo e um mínimo local, respectivamente.
  3. Concavidade:
    • Para , a função é côncava para baixo.
    • Para , a função é côncava para cima.
  4. Comportamento nas Extremidades:
    • Quando vai para , também vai para .
    • Quando vai para , vai para .
Com base nisso, podemos desenhar um gráfico que sobe de , cruza o eixo em , atinge um máximo próximo a , desce até , desce ainda mais até onde há um mínimo, e finalmente sobe novamente para .

Resposta

Seguindo esses passos, o gráfico da função tem as interseções nos pontos , e , com um máximo local em , um mínimo local em , e apresenta concavidades opostas nos intervalos mencionados, formando uma curva característica de um polinômio de terceiro grau.

Exercícios relacionados

Exercício 11. Seja uma função diferenciável em . Mostre que:
(b) Se é ímpar, então é par.
Exercício 8. Calcule nos seguintes casos:
(o) ;
Exercício 1. Em cada um dos itens abaixo s é a posição no instante de um objeto movendo sobre uma reta. Determine a velocidade no instante to dado.
(b) em .
Exercício 1. Em cada um dos itens abaixo s é a posição no instante de um objeto movendo sobre uma reta. Determine a velocidade no instante to dado.
(d) em .