Exercício 19. Considere a função
. Determine:
(g) Usando as informações obtidas de (1-6) você consegue esboçar o gráfico de
.
(g) Usando as informações obtidas de (1-6) você consegue esboçar o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a função
e, usando as informações que já encontramos nos itens anteriores (1 a 6), vamos tentar desenhar o gráfico dessa função. Isso envolve entender como a função se comporta, onde ela cresce ou decresce, onde ela tem máximo ou mínimo, e outros detalhes importantes para fazer um esboço bem legal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para desenhar o gráfico de uma função, é importante saber onde ela cruza os eixos, seus pontos críticos (onde a derivada é zero), e o comportamento nas extremidades (quando
vai para infinito positivo ou negativo).
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção com o eixo
. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o gráfico passa pela origem
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
para os quais
:
Então, as raízes são
.
Passo 5
Vamos calcular a derivada da função para encontrar os pontos críticos, que nos dizem onde a função tem máximos ou mínimos locais. A derivada de
em relação a
é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos pontos críticos em
e
.
Passo 6
Vamos determinar a concavidade da função calculando a segunda derivada:
Analisando a segunda derivada:
- Se
(ou seja, ), a função é côncava para cima. - Se
(ou seja, ), a função é côncava para baixo.
Isso nos ajuda a entender a forma geral do gráfico.
Passo 7
Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
- Interseções: O gráfico passa por
, e . - Pontos Críticos: Em
e , a função tem um máximo e um mínimo local, respectivamente. - Concavidade:
- Para
, a função é côncava para baixo. - Para
, a função é côncava para cima.
- Para
- Comportamento nas Extremidades:
- Quando
vai para , também vai para . - Quando
vai para , vai para .
- Quando
Com base nisso, podemos desenhar um gráfico que sobe de
, cruza o eixo em
, atinge um máximo próximo a
, desce até
, desce ainda mais até
onde há um mínimo, e finalmente sobe novamente para
.
Resposta
Seguindo esses passos, o gráfico da função
tem as interseções nos pontos
,
e
, com um máximo local em
, um mínimo local em
, e apresenta concavidades opostas nos intervalos mencionados, formando uma curva característica de um polinômio de terceiro grau.
Exercícios relacionados
Exercício 11. Seja
uma função diferenciável em
. Mostre que:
(b) Se é ímpar, então
é par.
(b) Se
Exercício 8. Calcule
nos seguintes casos:
(o) ;
(o)
Exercício 1. Em cada um dos itens abaixo s é a posição no instante
de um objeto movendo sobre uma reta. Determine a velocidade no instante to dado.
(b) em
.
(b)
Exercício 1. Em cada um dos itens abaixo s é a posição no instante
de um objeto movendo sobre uma reta. Determine a velocidade no instante to dado.
(d) em
.
(d)