Exercício 9. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto .
(b)

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos verificar se a função , definida por partes, é diferenciável no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente continuidade e derivabilidade de funções definidas por partes. Precisaremos verificar se a função é contínua em e se as derivadas pela direita e pela esquerda nesse ponto são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade de em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela direita e pela esquerda são iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos que:

Passo 3

Vamos calcular . Como para , :

Passo 4

Agora, calculamos o limite pela direita:

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite pela esquerda:

Passo 6

Comparando os limites:
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em .

Passo 7

Como a função não é contínua em , ela também não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade exige, necessariamente, a continuidade da função.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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Exercício 8. Calcule nos seguintes casos:
(q) ;
Exercício 8. Calcule nos seguintes casos:
(b) ;
Exercício 11. Seja uma função diferenciável em . Mostre que:
© Se é -periódica, então é -periódica.
Exercício 14. Sejam e duas funções tais que e . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de em .