Exercício 9. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto x=2.
(b) g(x)= x sen(pi x), & se x >= 2 (x^2+1) cos (pi x), & se x<2

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos verificar se a função , definida por partes, é diferenciável no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente continuidade e derivabilidade de funções definidas por partes. Precisaremos verificar se a função é contínua em e se as derivadas pela direita e pela esquerda nesse ponto são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade de limx to 2^+ g(x) = limx to 2^- g(x) = g(2) em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela direita e pela esquerda são iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos que:

Passo 3

Vamos calcular g(2) = 2 sin(2pi) = 2 times 0 = 0 . Como para , :

Passo 4

Agora, calculamos o limite pela direita:
limx to 2^+ g(x) = limx to 2^+ x sin(pi x) = 2 sin(2pi) = 0

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite pela esquerda:
limx to 2^- g(x) = limx to 2^- (x^2 + 1) cos(pi x) = (2^2 + 1) cos(2pi) = 5 times 1 = 5

Passo 6

Comparando os limites:
limx to 2^+ g(x) = 0 e limx to 2^- g(x) = 5
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em .

Passo 7

Como a função não é contínua em , ela também não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade exige, necessariamente, a continuidade da função.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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