Exercício 9. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos verificar se a função
, definida por partes, é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente continuidade e derivabilidade de funções definidas por partes. Precisaremos verificar se a função é contínua em
e se as derivadas pela direita e pela esquerda nesse ponto são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade de
em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela direita e pela esquerda são iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular
. Como para
,
:
Passo 4
Agora, calculamos o limite pela direita:
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite pela esquerda:
Passo 6
Comparando os limites:
Como os limites laterais não são iguais, a função
não é contínua em
.
Passo 7
Como a função não é contínua em
, ela também não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade exige, necessariamente, a continuidade da função.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.