Exercício 13. (FIGUEIREDO, 1996) 8. Sejam I um intervalo e f: I -> R e g: I -> R funções lipschitzianas. Mostre que f + g é lipschitziana. Se I for limitado, mostre que f g é lipschitziana. Mostre, através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se I não for limitado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem duas funções, e , definidas num intervalo , e ambas são funções lipschitzianas. Nosso objetivo é mostrar três coisas:
  1. A soma dessas funções, , também é lipschitziana.
  2. Se o intervalo for limitado, o produto também é lipschitziano.
  3. Se o intervalo não for limitado, o produto pode não ser lipschitziano, e vamos ver exemplos pra isso.
Pra resolver tudo isso, vamos precisar entender o que é uma função lipschitziana e como as propriedades das funções se comportam em operações como soma e multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser lipschitziana. Uma função é lipschitziana se existe uma constante tal que, para todos :
Essa constante é chamada de constante de Lipschitz da função .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que é lipschitziana. Sabemos que e são lipschitzianas, então existem constantes e tais que:
Vamos analisar :
Então, podemos tomar como constante de Lipschitz para .

Passo 4

Agora, vamos mostrar que se for limitado, então também é lipschitziano. Se é limitado, digamos que para todo .
Sabemos que e são lipschitzianas com constantes e e, como é limitado, e também são limitadas. Vamos chamar as máximas de e de e , respectivamente.
Vamos analisar :
Portanto, podemos tomar como constante de Lipschitz para .

Passo 5

Por último, vamos ver que se não for limitado, o produto pode não ser lipschitziano. Vamos considerar um exemplo simples:
Considere (intervalo não limitado), e defina .
Ambas as funções são lipschitzianas com constante , já que:
Mas o produto . Vamos testar se é lipschitziano:
Para e grandes, também é grande, e não existe uma constante que satisfaça para todos . Portanto, não é lipschitziano no intervalo .

Resposta

Mostramos que é lipschitziana com constante . Se o intervalo for limitado, o produto também é lipschitziano com constante . Além disso, quando não é limitado, o produto de funções lipschitzianas pode deixar de ser lipschitziano, como demonstrado no exemplo no intervalo .

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