Exercício 13. (FIGUEIREDO, 1996) 8. Sejam
um intervalo e
e
funções lipschitzianas. Mostre que
é lipschitziana. Se
for limitado, mostre que
é lipschitziana. Mostre, através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se
não for limitado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem duas funções,
e
, definidas num intervalo
, e ambas são funções lipschitzianas. Nosso objetivo é mostrar três coisas:
- A soma dessas funções,
, também é lipschitziana. - Se o intervalo
for limitado, o produto também é lipschitziano. - Se o intervalo
não for limitado, o produto pode não ser lipschitziano, e vamos ver exemplos pra isso.
Pra resolver tudo isso, vamos precisar entender o que é uma função lipschitziana e como as propriedades das funções se comportam em operações como soma e multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser lipschitziana. Uma função
é lipschitziana se existe uma constante
tal que, para todos
:
Essa constante
é chamada de constante de Lipschitz da função
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é lipschitziana. Sabemos que
e
são lipschitzianas, então existem constantes
e
tais que:
Vamos analisar
:
Então, podemos tomar
como constante de Lipschitz para
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que se
for limitado, então
também é lipschitziano. Se
é limitado, digamos que
para todo
.
Sabemos que
e
são lipschitzianas com constantes
e
e, como
é limitado,
e
também são limitadas. Vamos chamar as máximas de
e
de
e
, respectivamente.
Vamos analisar
:
Portanto, podemos tomar
como constante de Lipschitz para
.
Passo 5
Por último, vamos ver que se
não for limitado, o produto
pode não ser lipschitziano. Vamos considerar um exemplo simples:
Considere
(intervalo não limitado), e defina
.
Ambas as funções são lipschitzianas com constante
, já que:
Mas o produto
. Vamos testar se
é lipschitziano:
Para
e
grandes,
também é grande, e não existe uma constante
que satisfaça
para todos
. Portanto,
não é lipschitziano no intervalo
.
Resposta
Mostramos que
é lipschitziana com constante
. Se o intervalo
for limitado, o produto
também é lipschitziano com constante
. Além disso, quando
não é limitado, o produto de funções lipschitzianas pode deixar de ser lipschitziano, como demonstrado no exemplo
no intervalo
.