Exercício 11. Sejam
uma sequência e
. Prove que
b) Se
, então a sequência
converge se, e somente se, é limitada.
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência
onde cada termo
é maior ou igual a zero (
para todo
). A sequência
é definida como a soma dos termos até o
-ésimo termo:
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de convergência de sequências e propriedades de sequências limitadas. Precisamos provar que a sequência
converge se e somente se ela é limitada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que para todo
,
. No nosso caso, como todos os
, podemos simplificar e apenas considerar
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre convergência. Dizemos que uma sequência
converge se existe um limite
tal que, conforme
cresce,
se aproxima cada vez mais de
. Ou seja, para todo
, existe um
tal que para todo
,
.
Passo 4
Vamos provar a implicação direta primeiro: se
converge, então ela é limitada. Se
converge para
, significa que os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
. Portanto, podemos escolher
, garantindo que todos os
. Assim, a sequência é limitada.
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se
é limitada, então ela converge. Aqui, usamos o fato de que toda sequência monótona e limitada converge. No nosso caso, como todos os
, os termos
são não decrescentes (cada novo termo adiciona algo positivo). Se a sequência é limitada, ela deve ter um limite, ou seja, convergir.
Passo 6
Juntando as duas partes, mostramos que
converge se e somente se é limitada, desde que todos os termos
sejam não negativos.
Resposta
Portanto, se para todo
,
, então a sequência
converge se, e somente se, é limitada.
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Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam
, e
Dê exemplo de um conjunto aberto
tal que
não é aberto.
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
5. ;
5.
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
4. não é ponto de acumulação do conjunto
;
4.
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
6. ;
6.