Exercício 11. Sejam uma sequência e . Prove que
b) Se , então a sequência converge se, e somente se, é limitada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência onde cada termo é maior ou igual a zero ( para todo ). A sequência é definida como a soma dos termos até o -ésimo termo: . O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de convergência de sequências e propriedades de sequências limitadas. Precisamos provar que a sequência converge se e somente se ela é limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que para todo , . No nosso caso, como todos os , podemos simplificar e apenas considerar .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre convergência. Dizemos que uma sequência converge se existe um limite tal que, conforme cresce, se aproxima cada vez mais de . Ou seja, para todo , existe um tal que para todo , .

Passo 4

Vamos provar a implicação direta primeiro: se converge, então ela é limitada. Se converge para , significa que os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de . Portanto, podemos escolher , garantindo que todos os . Assim, a sequência é limitada.

Passo 5

Agora, vamos provar o contrário: se é limitada, então ela converge. Aqui, usamos o fato de que toda sequência monótona e limitada converge. No nosso caso, como todos os , os termos são não decrescentes (cada novo termo adiciona algo positivo). Se a sequência é limitada, ela deve ter um limite, ou seja, convergir.

Passo 6

Juntando as duas partes, mostramos que converge se e somente se é limitada, desde que todos os termos sejam não negativos.

Resposta

Portanto, se para todo , , então a sequência converge se, e somente se, é limitada.

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5. ;
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4. não é ponto de acumulação do conjunto ;
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6. ;