Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam a, b in R, a neq 0, e
& f, g, h: R R & x stackrelfmapsto a x+b & x stackrelgstackrel harpoonup x^2 & x stackrelhh x^3
Dê exemplo de um conjunto aberto A subseteq R tal que g(A) não é aberto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um conjunto aberto tal que, ao aplicarmos a função nesse conjunto, o resultado não seja aberto. Vamos usar conceitos de topologia e propriedades das funções para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto em . Um conjunto é aberto se, para todo ponto dentro dele, conseguimos encontrar um intervalo ao seu redor que também está totalmente dentro do conjunto. Por exemplo, o intervalo aberto é um conjunto aberto.

Passo 3

Agora, precisamos pensar em como a função atua sobre um conjunto aberto. Essa função transforma cada número no seu quadrado. É importante notar que é uma função contínua, mas nem sempre preserva a abertura dos conjuntos.

Passo 4

Vamos escolher um conjunto aberto específico para examinar. Considere o intervalo aberto . Esse é um conjunto aberto porque, para qualquer em , podemos encontrar um pequeno intervalo ao redor de que ainda está dentro de .

Passo 5

Vamos aplicar a função g(A) = x^2 mid x in (-1, 1) = [0, 1) nesse conjunto . Calculando, temos:
Ou seja, resulta no intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, .

Passo 6

Agora, vamos verificar se é um conjunto aberto. Para ser aberto, todo ponto em precisaria ter um intervalo ao redor dele que ainda esteja dentro de . Mas observe que o ponto não possui um intervalo ao seu redor totalmente contido em , porque todo intervalo ao redor de incluiria números negativos, que não estão em .

Resposta

Um exemplo é o conjunto aberto . Ao aplicar , temos , que não é aberto.

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