Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam
, e
Dê exemplo de um conjunto aberto
tal que
não é aberto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um conjunto aberto
tal que, ao aplicarmos a função
nesse conjunto, o resultado
não seja aberto. Vamos usar conceitos de topologia e propriedades das funções para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto em
. Um conjunto é aberto se, para todo ponto dentro dele, conseguimos encontrar um intervalo ao seu redor que também está totalmente dentro do conjunto. Por exemplo, o intervalo aberto
é um conjunto aberto.
Passo 3
Agora, precisamos pensar em como a função
atua sobre um conjunto aberto. Essa função transforma cada número
no seu quadrado. É importante notar que
é uma função contínua, mas nem sempre preserva a abertura dos conjuntos.
Passo 4
Vamos escolher um conjunto aberto específico para examinar. Considere o intervalo aberto
. Esse é um conjunto aberto porque, para qualquer
em
, podemos encontrar um pequeno intervalo ao redor de
que ainda está dentro de
.
Passo 5
Vamos aplicar a função
nesse conjunto
. Calculando, temos:
Ou seja,
resulta no intervalo fechado à esquerda e aberto à direita,
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é um conjunto aberto. Para ser aberto, todo ponto em
precisaria ter um intervalo ao redor dele que ainda esteja dentro de
. Mas observe que o ponto
não possui um intervalo ao seu redor totalmente contido em
, porque todo intervalo ao redor de
incluiria números negativos, que não estão em
.
Resposta
Um exemplo é o conjunto aberto
. Ao aplicar
, temos
, que não é aberto.
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;
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