Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
5. ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a afirmação diz. Temos a expressão . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de pontos derivados de um conjunto . Para resolver isso, precisamos saber o que significa um conjunto de pontos derivados e o que representa o conjunto vazio .

Passo 2

O conjunto de pontos derivados de , denotado por , é o conjunto de todos os pontos que são “acumuladores” de . Isso significa que cada ponto em é um ponto onde, por qualquer vizinhança escolhida, sempre há pelo menos um ponto de diferente do próprio ponto.

Passo 3

Quando afirmamos que , estamos dizendo que o conjunto de pontos derivados de é vazio. Isso significa que não existem pontos que sejam acumuladores de . Em outras palavras, não há pontos onde se “acumula”.

Passo 4

Em termos mais simples, se , todo ponto em é isolado. Não há pontos em que estejam “próximos” de outros pontos de . Cada elemento de está separado dos demais por uma certa distância.

Resposta

A afirma��ão significa que o conjunto não possui pontos acumuladores, ou seja, todos os elementos de são isolados e não há nenhum ponto onde se acumula.

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3. O conjunto não é fechado;
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
2. não é um conjunto aberto;
Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam , e
Dê exemplo de um conjunto aberto tal que não é aberto.
Exercício 11. Sejam uma sequência e . Prove que
b) Se , então a sequência converge se, e somente se, é limitada.