Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
-
não é ponto interior de
;
Passo 1
Vamos entender a afirmação "
não é ponto interior de
". Aqui, estamos trabalhando com topologia, que é um ramo da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um elemento estar em um conjunto e o que caracteriza um elemento como sendo completamente “dentro” desse conjunto, sem estar na borda.
Passo 2
Primeiro, dizer que “
” significa que o elemento
pertence ao conjunto
. Ou seja,
está incluído dentro do conjunto
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o que significa não ser um elemento completamente “dentro” do conjunto. Imagine que você tem um conjunto
como uma área em um plano. Um elemento que está completamente “dentro” desse conjunto teria vizinhos próximos que também pertencem a
. Se
não tem essa propriedade, ou seja, não há um entorno ao redor de
que esteja todo contido em
, então
está na “fronteira” de
ou fora de um espaço completamente interno.
Passo 4
Portanto, dizer que "
não é ponto interior de
" quer dizer que, embora
pertença ao conjunto
, ele está localizado de tal forma que, se tentarmos cercá-lo com uma pequena região, parte dessa região não estará dentro de
. Isso indica que
está em uma posição limite do conjunto, e não em uma região onde todo o seu entorno está contido em
.
Resposta
A afirmação "
não é ponto interior de
" significa que, embora o elemento
pertença ao conjunto
, não existe uma área ao redor de
que esteja completamente dentro de
. Em outras palavras,
está na borda ou limite de
, e qualquer pequeno entorno ao redor de
incluirá pontos que não estão em
.
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Exercício 13. (FIGUEIREDO, 1996) 8. Sejam
um intervalo e
e
funções lipschitzianas. Mostre que
é lipschitziana. Se
for limitado, mostre que
é lipschitziana. Mostre, através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se
não for limitado.
Exercício 12. (LIMA, 2014) Demonstre que dados
, temos
.
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
2. não é um conjunto aberto;
2.
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
3. O conjunto não é fechado;
3. O conjunto