Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
2. não é um conjunto aberto;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente explicar o que significa dizer que um conjunto é um subconjunto dos números reais e que esse conjunto não é aberto. Isso faz parte do estudo de topologia, que é um ramo da matemática que lida com as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para explicar isso, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto e o que significa não ser aberto.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um conjunto aberto. Em termos simples, um conjunto aberto em , que é a linha dos números reais, é um conjunto onde, para cada ponto dentro dele, você pode desenhar um pequeno intervalo ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto. Imagine que você tem uma borracha e consegue mover um pequeno pedaço dela dentro do conjunto sem tocar as bordas.

Passo 3

Agora, se dizemos que não é um conjunto aberto, isso significa que existe pelo menos um ponto em onde, se você tentar desenhar esse pequeno intervalo ao redor dele, parte desse intervalo vai sair do conjunto . Em outras palavras, tem “bordas” ou “limites” que tocam ou saem para fora do conjunto quando você tenta considerar essas vizinhanças ao redor de alguns pontos.

Passo 4

Por exemplo, pense no conjunto , que inclui os números de 0 a 1, incluindo os próprios 0 e 1. Se você tentar desenhar um intervalo ao redor de 0 ou 1, parte desse intervalo vai para fora de , já que não existem números menores que 0 ou maiores que 1 dentro de . Isso mostra que não é aberto, porque esses pontos não permitem a criação de intervalos totalmente contidos em .

Resposta

Então, dizer que não é um conjunto aberto significa que existem pontos em onde você não pode desenhar um intervalo pequeno ao redor deles que esteja completamente dentro de . Em outras palavras, tem limites ou bordas que impedem que certos pontos tenham vizinhanças totalmente contidas no conjunto.

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  1. não é ponto interior de ;
Exercício 13. (FIGUEIREDO, 1996) 8. Sejam um intervalo e e funções lipschitzianas. Mostre que é lipschitziana. Se for limitado, mostre que é lipschitziana. Mostre, através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se não for limitado.
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
3. O conjunto não é fechado;
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
5. ;