Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
2.
não é um conjunto aberto;
2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente explicar o que significa dizer que um conjunto
é um subconjunto dos números reais
e que esse conjunto não é aberto. Isso faz parte do estudo de topologia, que é um ramo da matemática que lida com as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para explicar isso, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto e o que significa não ser aberto.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um conjunto aberto. Em termos simples, um conjunto aberto em
, que é a linha dos números reais, é um conjunto onde, para cada ponto dentro dele, você pode desenhar um pequeno intervalo ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto. Imagine que você tem uma borracha e consegue mover um pequeno pedaço dela dentro do conjunto sem tocar as bordas.
Passo 3
Agora, se dizemos que
não é um conjunto aberto, isso significa que existe pelo menos um ponto em
onde, se você tentar desenhar esse pequeno intervalo ao redor dele, parte desse intervalo vai sair do conjunto
. Em outras palavras,
tem “bordas” ou “limites” que tocam ou saem para fora do conjunto quando você tenta considerar essas vizinhanças ao redor de alguns pontos.
Passo 4
Por exemplo, pense no conjunto
, que inclui os números de 0 a 1, incluindo os próprios 0 e 1. Se você tentar desenhar um intervalo ao redor de 0 ou 1, parte desse intervalo vai para fora de
, já que não existem números menores que 0 ou maiores que 1 dentro de
. Isso mostra que
não é aberto, porque esses pontos não permitem a criação de intervalos totalmente contidos em
.
Resposta
Então, dizer que
não é um conjunto aberto significa que existem pontos em
onde você não pode desenhar um intervalo pequeno ao redor deles que esteja completamente dentro de
. Em outras palavras,
tem limites ou bordas que impedem que certos pontos tenham vizinhanças totalmente contidas no conjunto.
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-
não é ponto interior de ;
Exercício 13. (FIGUEIREDO, 1996) 8. Sejam
um intervalo e
e
funções lipschitzianas. Mostre que
é lipschitziana. Se
for limitado, mostre que
é lipschitziana. Mostre, através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se
não for limitado.
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3. O conjunto
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5. ;
5.