Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
8. X não é compacto.
8. X não é compacto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar o que significa a afirmação “X não é compacto”. Isso está relacionado ao estudo de topologia ou análise matemática, onde falamos sobre propriedades de conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um conjunto compacto e o que implica dizer que um conjunto não é compacto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto compacto. Em termos simples, um conjunto é compacto se ele é limitado e fechado. Isso significa que ele não se estende infinitamente em nenhuma direção (limitado) e que contém todos os seus pontos de borda (fechado).
Passo 3
Agora, se dizemos que “X não é compacto”, estamos afirmando que o conjunto X não satisfaz uma dessas duas condições: ou ele não é limitado, ou não é fechado, ou talvez as duas.
Passo 4
Por exemplo, se X for um intervalo aberto como (0, 1) na reta real, ele não é compacto porque não inclui seus pontos de borda, 0 e 1, então não é fechado. Já um conjunto como os números naturais não é compacto porque não é limitado; ele se estende infinitamente.
Passo 5
Saber se um conjunto é compacto é importante porque conjuntos compactos têm boas propriedades matemáticas, como todo sequência dentro deles ter uma subsequência que converge para um ponto dentro do conjunto. Quando X não é compacto, essas propriedades não estão garantidas, o que pode complicar análises e soluções em problemas matemáticos.
Resposta
Então, “X não é compacto” significa que o conjunto X não é limitado, não é fechado, ou ambos, o que implica que ele não possui certas propriedades matemáticas vantajosas, como ter todas as suas sequências convergentes dentro do próprio conjunto.
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7. ;
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Exercício 1 (Exame de seleção PPGM 2024/2). Mostre que uma função
é descontínua no ponto
se, e somente se, existem
e uma sequência de pontos
tais que
e
para todo
.
Dados o vetor
e os pontos
e
:
Calcule o módulo do vetor .
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