Exercício 1 (Exame de seleção PPGM 2024/2). Mostre que uma função
é descontínua no ponto
se, e somente se, existem
e uma sequência de pontos
tais que
e
para todo
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que uma função
é descontínua em um ponto
se, e somente se, existem um número
e uma sequência de pontos
que se aproximam de
(ou seja,
) e tal que a diferença
é sempre maior ou igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser descontínua em um ponto. Uma função
é descontínua em
se não for contínua nesse ponto. Isso significa que uma das condições de continuidade falha, ou seja, o limite de
quando
se aproxima de
não é igual a
.
Passo 3
Agora, vamos provar a primeira direção: se
é descontínua em
, então existem
e uma sequência
que satisfazem as condições do enunciado.
Como
é descontínua em
, pelo definição de limite, existe
tal que para qualquer
, podemos encontrar um
com
e
. Escolhendo
para cada
, obtemos uma sequência
que satisfaz
e
.
Passo 4
Agora, vamos provar a outra direção: se existem
e uma sequência
com
e
para todo
, então
é descontínua em
.
Assumindo que tais
e
existem, observamos que
porque
e
tende a zero. Entretanto,
implica que
não se aproxima de
. Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
não é
, o que significa que
é descontínua em
.
Resposta
Assim, comprovamos que a função
é descontínua no ponto
se, e somente se, existem
e uma sequência
em
tal que
e
para todo
.
Exercícios relacionados
Exercício 14. (LIMA, 2014) Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras grifadas abaixo:
8. X não é compacto.
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7. ;
7.
Dados o vetor
e os pontos
e
:
Calcule o módulo do vetor .
Calcule o módulo do vetor
Dados os vetores
e
, determinar o vetor
tal que
.