Exercício 1 (Exame de seleção PPGM 2024/2). Mostre que uma função é descontínua no ponto se, e somente se, existem e uma sequência de pontos tais que e para todo .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que uma função é descontínua em um ponto se, e somente se, existem um número e uma sequência de pontos que se aproximam de (ou seja, ) e tal que a diferença é sempre maior ou igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser descontínua em um ponto. Uma função é descontínua em se não for contínua nesse ponto. Isso significa que uma das condições de continuidade falha, ou seja, o limite de quando se aproxima de não é igual a .

Passo 3

Agora, vamos provar a primeira direção: se é descontínua em , então existem e uma sequência que satisfazem as condições do enunciado.
Como é descontínua em , pelo definição de limite, existe tal que para qualquer , podemos encontrar um com e . Escolhendo para cada , obtemos uma sequência que satisfaz e .

Passo 4

Agora, vamos provar a outra direção: se existem e uma sequência com e para todo , então é descontínua em .
Assumindo que tais e existem, observamos que porque e tende a zero. Entretanto, implica que não se aproxima de . Portanto, o limite de quando se aproxima de não é , o que significa que é descontínua em .

Resposta

Assim, comprovamos que a função é descontínua no ponto se, e somente se, existem e uma sequência em tal que e para todo .

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7. ;
Dados o vetor e os pontos e :
Calcule o módulo do vetor .
Dados os vetores e , determinar o vetor tal que .