Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de f sujeitos aos vínculos indicados.
(b) f(x, y) = 2*x^2 + x*y - y^2 + y sujeito ao vínculo 2x + 3y = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os extremos da função com a restrição . O conteúdo que vamos usar aqui são os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Vamos precisar saber como montar a função de Lagrange e resolver um sistema de equações para achar os pontos onde os extremos ocorrem.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, que geralmente chamamos de . A fórmula geral é:
No nosso caso, e . Então, a função de Lagrange fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e . Essas derivadas vão nos dar as equações necessárias para encontrar os pontos de extremo.
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 4

Vamos igualar cada derivada a zero para obter o sistema de equações que precisamos resolver:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da equação 3 sabemos que . Vamos isolar :
Agora, substituímos esse valor de nas equações 1 e 2.
Substituindo na equação 1:
Simplificando:
Substituindo na equação 2:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Agora temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo esse valor de na segunda equação:
Simplificando:
Agora, substituímos na expressão para :

Resposta

Os extremos da função sujeitos ao vínculo ocorrem no ponto .

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