Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
(b)
sujeito ao vínculo
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os extremos da função
com a restrição
. O conteúdo que vamos usar aqui são os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Vamos precisar saber como montar a função de Lagrange e resolver um sistema de equações para achar os pontos onde os extremos ocorrem.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, que geralmente chamamos de
. A fórmula geral é:
No nosso caso,
e
. Então, a função de Lagrange fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
. Essas derivadas vão nos dar as equações necessárias para encontrar os pontos de extremo.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 4
Vamos igualar cada derivada a zero para obter o sistema de equações que precisamos resolver:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da equação 3 sabemos que
. Vamos isolar
:
Agora, substituímos esse valor de
nas equações 1 e 2.
Substituindo na equação 1:
Simplificando:
Substituindo na equação 2:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Agora temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo esse valor de
na segunda equação:
Simplificando:
Agora, substituímos
na expressão para
:
Resposta
Os extremos da função
sujeitos ao vínculo
ocorrem no ponto
.