Resolva as equações diferenciais exibindo as devidas passagens algébricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Essa questão está dentro da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente envolvendo integrais. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a taxa de variação de
em relação a
é igual ao logaritmo natural de
. Para encontrar
, precisamos “desfazer” essa derivação, ou seja, integrar ambos os lados da equação.
Passo 3
Vamos integrar os dois lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral de
em relação a
simplesmente dá
:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos
e
. Então, calculamos
e
:
Aplicando a fórmula:
onde
é a constante de integração.
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
(b) sujeito ao vínculo
;
(b)
Exercício 2.24. Se
, determine o ponto do plano de equação
em que
tem seu menor valor.
Resolva as equações diferenciais exibindo as devidas passagens algébricas.
Exercício 2.26. Mostre, por multiplicadores de Lagrange que o paralelepípedo de volume dado e área de superfície mínima é o cubo.