Resolva as equações diferenciais exibindo as devidas passagens algébricas.
c (d x)/(d t) = ln(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial . Essa questão está dentro da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente envolvendo integrais. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a taxa de variação de em relação a é igual ao logaritmo natural de . Para encontrar , precisamos “desfazer” essa derivação, ou seja, integrar ambos os lados da equação.

Passo 3

Vamos integrar os dois lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral de em relação a simplesmente dá :

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos e . Então, calculamos e :
Aplicando a fórmula:
onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

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