Resolva as equações diferenciais exibindo as devidas passagens algébricas.
a d x/d t = x t

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e do tipo linear. Para resolvê-la, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos permite reorganizar a equação para isolar de um lado e do outro, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 4

Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos exponentiar ambos os lados da equação:
Simplificando:
Como é apenas uma constante positiva, podemos representá-la por uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

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