Resolva as equações diferenciais exibindo as devidas passagens algébricas.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e do tipo linear. Para resolvê-la, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos permite reorganizar a equação para isolar
de um lado e
do outro, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 4
Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos exponentiar ambos os lados da equação:
Simplificando:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos representá-la por uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.