Exercício 2.26. Mostre, por multiplicadores de Lagrange que o paralelepípedo de volume dado e área de superfície mínima é o cubo.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando multiplicadores de Lagrange, que o paralelepípedo com volume dado e área de superfície mínima é o cubo. Para isso, vamos precisar entender o que são multiplicadores de Lagrange e como aplicá-los a problemas de otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis do nosso paralelepípedo. Seja , e as dimensões do paralelepípedo. O volume é dado por:
Queremos minimizar a área de superfície , que é:
Nossa restrição é que o volume seja fixo, ou seja, é constante.

Passo 3

Agora, vamos usar os multiplicadores de Lagrange. Introduzimos uma variável (o multiplicador de Lagrange) e formamos a função Lagrangiana:
Queremos encontrar os pontos onde o gradiente de é zero.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de em relação a , , e e as igualamos a zero:

Passo 5

Vamos resolver essas equações. A partir das três primeiras equações, podemos isolar :
Igualando as expressões para , temos:
Simplificando, obtemos:

Passo 6

Analisando , simplificamos:
Isso implica que , ou seja, .
Fazendo o mesmo com :
Isso implica que , ou seja, .

Passo 7

Concluímos que . Portanto, todas as dimensões são iguais, o que significa que o paralelepípedo é, de fato, um cubo.

Resposta

O paralelepípedo com volume dado e área de superfície mínima é um cubo, onde todas as arestas são iguais.

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