Exercício 2.26. Mostre, por multiplicadores de Lagrange que o paralelepípedo de volume dado e área de superfície mínima é o cubo.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando multiplicadores de Lagrange, que o paralelepípedo com volume dado e área de superfície mínima é o cubo. Para isso, vamos precisar entender o que são multiplicadores de Lagrange e como aplicá-los a problemas de otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis do nosso paralelepípedo. Seja
,
e
as dimensões do paralelepípedo. O volume
é dado por:
Queremos minimizar a área de superfície
, que é:
Nossa restrição é que o volume seja fixo, ou seja,
é constante.
Passo 3
Agora, vamos usar os multiplicadores de Lagrange. Introduzimos uma variável
(o multiplicador de Lagrange) e formamos a função Lagrangiana:
Queremos encontrar os pontos onde o gradiente de
é zero.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
e as igualamos a zero:
Passo 5
Vamos resolver essas equações. A partir das três primeiras equações, podemos isolar
:
Igualando as expressões para
, temos:
Simplificando, obtemos:
Passo 6
Analisando
, simplificamos:
Isso implica que
, ou seja,
.
Fazendo o mesmo com
:
Isso implica que
, ou seja,
.
Passo 7
Concluímos que
. Portanto, todas as dimensões são iguais, o que significa que o paralelepípedo é, de fato, um cubo.
Resposta
O paralelepípedo com volume dado e área de superfície mínima é um cubo, onde todas as arestas são iguais.