Exercício 64. Determine o dominio para as funções:
iv)
iv)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o domínio da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas, que são parte da Álgebra. Para resolver isso, precisamos lembrar das condições que tornam um logaritmo válido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para
ser válido, duas condições devem ser atendidas:
- A base
do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, ou seja, e . - O argumento
do logaritmo deve ser maior que zero, ou seja, .
No nosso caso, a base é
e o argumento é
. Então, precisamos que:
-
e -
Passo 3
Vamos resolver a primeira condição:
.
Para isso, fatoramos a expressão:
Agora, determinamos os intervalos onde o produto é positivo:
- Quando ambos os fatores são positivos:
e → - Quando ambos os fatores são negativos:
e →
Portanto,
quando
ou
.
Passo 4
Agora, vamos garantir que
.
Resolvendo
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então,
e
. Mas como esses valores não caem nos intervalos
ou
, não precisamos nos preocupar além das condições anteriores.
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda condição:
.
Fatorando a expressão:
Determina-se onde o produto é positivo:
- Quando ambos os fatores são positivos:
e → - Quando ambos os fatores são negativos:
e →
Portanto,
quando
ou
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a interseção dos intervalos que satisfazem ambas as condições:
-
ou (para a base do logaritmo) -
ou (para o argumento do logaritmo)
Vamos analisar cada caso:
-
Para
: - Também precisamos que
, o que já está incluído em .
- Também precisamos que
-
Para
: - Precisamos de
para o argumento, então o intervalo válido aqui é .
- Precisamos de
Passo 7
Portanto, o domínio da função
é a união dos intervalos onde ambas as condições são satisfeitas:
Resposta
O domínio da função é
tal que
ou
.
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iii)
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Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
Exercício 64. Determine o dominio para as funções:
v)
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