Exercício 64. Determine o dominio para as funções:
iv)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o domínio da função . Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas, que são parte da Álgebra. Para resolver isso, precisamos lembrar das condições que tornam um logaritmo válido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para ser válido, duas condições devem ser atendidas:
  1. A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, ou seja, e .
  2. O argumento do logaritmo deve ser maior que zero, ou seja, .
No nosso caso, a base é e o argumento é . Então, precisamos que:
  1. e

Passo 3

Vamos resolver a primeira condição: .
Para isso, fatoramos a expressão:
Agora, determinamos os intervalos onde o produto é positivo:
  • Quando ambos os fatores são positivos: e
  • Quando ambos os fatores são negativos: e
Portanto, quando ou .

Passo 4

Agora, vamos garantir que .
Resolvendo :
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, e . Mas como esses valores não caem nos intervalos ou , não precisamos nos preocupar além das condições anteriores.

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda condição: .
Fatorando a expressão:
Determina-se onde o produto é positivo:
  • Quando ambos os fatores são positivos: e
  • Quando ambos os fatores são negativos: e
Portanto, quando ou .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a interseção dos intervalos que satisfazem ambas as condições:
  1. ou (para a base do logaritmo)
  2. ou (para o argumento do logaritmo)
Vamos analisar cada caso:
  • Para :
    • Também precisamos que , o que já está incluído em .
  • Para :
    • Precisamos de para o argumento, então o intervalo válido aqui é .

Passo 7

Portanto, o domínio da função é a união dos intervalos onde ambas as condições são satisfeitas:

Resposta

O domínio da função é tal que ou .

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