Exercício 3.70 - Livro Ciência e Engenharia de Materiais - Uma Introdução - 9ạ Ed O metal nióbio (Nb) possui uma estrutura cristalina CCC. Se o ângulo de difração para o conjunto de planos (2 1 1) ocorre em 75,99^circ (reflexão de primeira ordem) quando é usada uma radiação X monocromática com comprimento de onda de 0,1659 nm , calcule o seguinte:
a) O espaçamento interplanar para esse conjunto de planos
b) O raio atômico para o átomo de Nb

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o metal nióbio (Nb) que possui uma estrutura cristalina CCCA (provavelmente significa Cúbica de Face Centrada, FCC). Foi dado o ângulo de difração para o conjunto de planos (211) igual a 75,99^circ na primeira ordem de reflexão, usando uma radiação X com comprimento de onda lambda = 0,1659 nm.
Conteúdo da matéria: Difração de Raios X, estruturas cristalinas FCC, Equação de Bragg.
O que vamos precisar:
  • Equação de Bragg para relacionar o ângulo de difração, comprimento de onda e espaçamento interplanar.
  • Relações geométricas das estruturas FCC para calcular o raio atômico a partir do espaçamento interplanar.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), que pede para calcular o espaçamento interplanar para o conjunto de planos (211).
Teoria: A Equação de Bragg estabelece que:
nlambda = 2dsintheta
onde:
  • n é a ordem de reflexão (neste caso, n = 1),
  • lambda é o comprimento de onda da radiação ( 0,1659 nm),
  • d é o espaçamento interplanar que queremos encontrar,
  • theta é o ângulo de difração ( 75,99^circ).

Passo 3

Rearranjando a Equação de Bragg para resolver d:
d = nlambda2sintheta
Substituindo os valores conhecidos:
d = 1 times 0,16592sin75,99^circ

Passo 4

Calculando sin75,99^circ:
sin75,99^circ approx 0,9681
Agora, substituindo na equação:
d = 0,16592 times 0,9681 approx 0,16591,9362 approx 0,0856 nm

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), que solicita o raio atômico do nióbio.
Teoria: Na estrutura FCC, o espaçamento interplanar dhkl para os planos (hkl) é dado por:
dhkl = araizh^2 + k^2 + l^2
onde a é a constante de rede.
Além disso, na estrutura FCC, a relação entre a constante de rede a e o raio atômico r é:
a = 2raiz2 , r

Passo 6

Primeiro, encontramos a constante de rede a usando o espaçamento interplanar encontrado:
d211 = araiz2^2 + 1^2 + 1^2 = araiz6 Rightarrow a = d211 times raiz6
Substituindo d211 = 0,0856 nm:
a = 0,0856 times 2,4495 approx 0,2093 nm

Passo 7

Agora, usamos a relação entre a e r para encontrar o raio atômico:
a = 2raiz2 , r Rightarrow r = a2raiz2 = 0,20932 times 1,4142 approx 0,20932,8284 approx 0,074 nm

Resposta

a) O espaçamento interplanar para o conjunto de planos (211) é aproximadamente 0,0856 nm.
b) O raio atômico para o átomo de Nb é aproximadamente 0,074 nm.

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