Exercício com Aplicação Física: Um resfriamento de um objeto a temperatura ambiente é descrito pela equação:
onde é a temperatura do corpo, é a temperatura ambiente e é constante. Mostre que a solução é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando ele está esfriando até a temperatura ambiente. A gente vai usar uma equação diferencial que descreve esse resfriamento:
Aqui, é a temperatura do objeto, é a temperatura ambiente e é uma constante positiva. Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples. A equação que temos é:
Podemos reorganizar isso para:
Isso já deixa mais claro que a taxa de variação da temperatura depende da diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente.

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos da equação diferencial. Temos uma equação linear de primeira ordem que pode ser escrita na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Com isso, a gente sabe que podemos usar um fator integrante para resolver.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante ( ) é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada de um produto, o que facilita a integração.

Passo 6

Reconhecemos que a esquerda da equação é a derivada de . Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 7

Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo simplifica para , e a do lado direito resulta em , onde é a constante de integração.

Passo 8

Então, temos:
Agora, vamos resolver para isolando-o na equação.

Passo 9

Dividindo ambos os lados por :
A expressão agora nos mostra como a temperatura varia com o tempo .

Passo 10

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial. Vamos supor que no tempo , a temperatura do objeto é . Então:
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo de volta na equação, a solução da equação diferencial é:

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