Exercício com Aplicação Física: Um resfriamento de um objeto a temperatura ambiente é descrito pela equação:
d Td t+k(T-Ta)=0
onde T é a temperatura do corpo, Ta é a temperatura ambiente e k>0 é constante. Mostre que a solução é:
T(t)=Ta+(T0-Ta) e^-k t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando ele está esfriando até a temperatura ambiente. A gente vai usar uma equação diferencial que descreve esse resfriamento:
d Td t + k(T - Ta) = 0
Aqui, T é a temperatura do objeto, Ta é a temperatura ambiente e k é uma constante positiva. Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é:
T(t) = Ta + (T0 - Ta) e^-k t
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples. A equação que temos é:
d Td t + k(T - Ta) = 0
Podemos reorganizar isso para:
d Td t = -k(T - Ta)
Isso já deixa mais claro que a taxa de variação da temperatura depende da diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente.

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos da equação diferencial. Temos uma equação linear de primeira ordem que pode ser escrita na forma padrão:
d Td t + P(t) T = Q(t)
Comparando com a nossa equação:
P(t) = k e Q(t) = k Ta
Com isso, a gente sabe que podemos usar um fator integrante para resolver.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante ( mu(t)) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral k dt = e^k t
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^k t d Td t + k e^k t T = k Ta e^k t
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada de um produto, o que facilita a integração.

Passo 6

Reconhecemos que a esquerda da equação é a derivada de T e^k t. Então, podemos escrever:
dd t ( T e^k t ) = k Ta e^k t
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t.

Passo 7

Integrando os dois lados:
integral dd t ( T e^k t ) dt = integral k Ta e^k t dt
A integral do lado esquerdo simplifica para T e^k t, e a do lado direito resulta em Ta e^k t + C, onde C é a constante de integração.

Passo 8

Então, temos:
T e^k t = Ta e^k t + C
Agora, vamos resolver para T isolando-o na equação.

Passo 9

Dividindo ambos os lados por e^k t:
T = Ta + C e^-k t
A expressão agora nos mostra como a temperatura T varia com o tempo t.

Passo 10

Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial. Vamos supor que no tempo t = 0, a temperatura do objeto é T0. Então:
T(0) = Ta + C e^0 Rightarrow T0 = Ta + C
Resolvendo para C:
C = T0 - Ta

Resposta

Substituindo C de volta na equação, a solução da equação diferencial é:
T(t) = Ta + (T0 - Ta) e^-k t

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