Exercício com Aplicação Física: Um resfriamento de um objeto a temperatura ambiente é descrito pela equação:
onde
é a temperatura do corpo,
é a temperatura ambiente e
é constante. Mostre que a solução é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando ele está esfriando até a temperatura ambiente. A gente vai usar uma equação diferencial que descreve esse resfriamento:
Aqui,
é a temperatura do objeto,
é a temperatura ambiente e
é uma constante positiva. Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples. A equação que temos é:
Podemos reorganizar isso para:
Isso já deixa mais claro que a taxa de variação da temperatura depende da diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente.
Passo 3
Agora, vamos identificar os termos da equação diferencial. Temos uma equação linear de primeira ordem que pode ser escrita na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Com isso, a gente sabe que podemos usar um fator integrante para resolver.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante (
) é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada de um produto, o que facilita a integração.
Passo 6
Reconhecemos que a esquerda da equação é a derivada de
. Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 7
Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo simplifica para
, e a do lado direito resulta em
, onde
é a constante de integração.
Passo 8
Então, temos:
Agora, vamos resolver para
isolando-o na equação.
Passo 9
Dividindo ambos os lados por
:
A expressão agora nos mostra como a temperatura
varia com o tempo
.
Passo 10
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. Vamos supor que no tempo
, a temperatura do objeto é
. Então:
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo
de volta na equação, a solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Seja
o subespaço gerado pelos vetores de
.
(a) Verifique se está em
.
(b) Determine uma base para .
© Determine uma base para que possua dois vetores de
.
(a) Verifique se
(b) Determine uma base para
© Determine uma base para
Seja
. Se
e
. Verifique se
com as operações de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre
.
Modelagem de Crescimento Populacional: Um modelo de crescimento populacional é dado pela equação:
onde
é a população e
é a taxa de crescimento. Resolva esta equação e interprete o resultado.
Dados os vetores
e
, determinar: