Modelagem de Crescimento Populacional: Um modelo de crescimento populacional é dado pela equação:
onde é a população e é a taxa de crescimento. Resolva esta equação e interprete o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um modelo de crescimento populacional que é descrito pela equação . Aqui, representa a população e é a taxa de crescimento. Nosso objetivo é resolver essa equação para descobrir como a população varia ao longo do tempo e entender o que isso significa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Ela relaciona a taxa de variação da população ( ) com a própria população ( ), multiplicada por uma constante .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos “separar” as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 4

Vamos reescrever a equação:

Agora, separamos as variáveis e :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e a do lado direito em relação a :

Passo 6

Calculando as integrais:

Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:

Passo 8

Podemos simplificar como . Vamos renomear como (ou apenas , já que é uma constante):

Passo 9

Assim, a solução geral da equação é:

Aqui, é a população inicial quando .

Resposta

A solução da equação diferencial é , onde é a população inicial. Isso significa que a população cresce exponencialmente ao longo do tempo com uma taxa de crescimento .

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Exercício com Aplicação Física: Um resfriamento de um objeto a temperatura ambiente é descrito pela equação:
onde é a temperatura do corpo, é a temperatura ambiente e é constante. Mostre que a solução é:
Seja o subespaço gerado pelos vetores de .
(a) Verifique se está em .
(b) Determine uma base para .
© Determine uma base para que possua dois vetores de .
Dados os vetores e , determinar:
Use os conceitos de projeção e norma de vetores para determinar a distância do ponto à reta que passa pelos pontos e nos casos: