Modelagem de Crescimento Populacional: Um modelo de crescimento populacional é dado pela equação:
d Pd t=r P
onde P é a população e r é a taxa de crescimento. Resolva esta equação e interprete o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um modelo de crescimento populacional que é descrito pela equação d Pd t=r P. Aqui, P representa a população e r é a taxa de crescimento. Nosso objetivo é resolver essa equação para descobrir como a população P varia ao longo do tempo t e entender o que isso significa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Ela relaciona a taxa de variação da população ( d Pd t) com a própria população ( P), multiplicada por uma constante r.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos “separar” as variáveis P e t em lados opostos da equação.

Passo 4

Vamos reescrever a equação:
d Pd t = r P
Agora, separamos as variáveis P e t:
d PP = r , dt

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a P e a do lado direito em relação a t:
integral 1P , dP = integral r , dt

Passo 6

Calculando as integrais:
ln |P| = r t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Para resolver para P, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
P = e^r t + C

Passo 8

Podemos simplificar e^r t + C como e^C cdot e^r t. Vamos renomear e^C como C' (ou apenas C, já que é uma constante):
P = C cdot e^r t

Passo 9

Assim, a solução geral da equação é:
P(t) = C e^r t
Aqui, C é a população inicial quando t = 0.

Resposta

A solução da equação diferencial é P(t) = C e^r t, onde C é a população inicial. Isso significa que a população cresce exponencialmente ao longo do tempo com uma taxa de crescimento r.

Exercícios relacionados