Modelagem de Crescimento Populacional: Um modelo de crescimento populacional é dado pela equação:
onde
é a população e
é a taxa de crescimento. Resolva esta equação e interprete o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um modelo de crescimento populacional que é descrito pela equação
. Aqui,
representa a população e
é a taxa de crescimento. Nosso objetivo é resolver essa equação para descobrir como a população
varia ao longo do tempo
e entender o que isso significa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Ela relaciona a taxa de variação da população (
) com a própria população (
), multiplicada por uma constante
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos “separar” as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 4
Vamos reescrever a equação:
Agora, separamos as variáveis
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e a do lado direito em relação a
:
Passo 6
Calculando as integrais:
Onde
Passo 7
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Passo 8
Podemos simplificar
como
. Vamos renomear
como
(ou apenas
, já que é uma constante):
Passo 9
Assim, a solução geral da equação é:
Aqui,
Resposta
A solução da equação diferencial é
, onde
é a população inicial. Isso significa que a população cresce exponencialmente ao longo do tempo com uma taxa de crescimento
.
Exercícios relacionados
Exercício com Aplicação Física: Um resfriamento de um objeto a temperatura ambiente é descrito pela equação:
onde
é a temperatura do corpo,
é a temperatura ambiente e
é constante. Mostre que a solução é:
Seja
o subespaço gerado pelos vetores de
.
(a) Verifique se está em
.
(b) Determine uma base para .
© Determine uma base para que possua dois vetores de
.
(a) Verifique se
(b) Determine uma base para
© Determine uma base para
Dados os vetores
e
, determinar:
Use os conceitos de projeção e norma de vetores para determinar a distância do ponto
à reta
que passa pelos pontos
e
nos casos: