Seja o subespaço gerado pelos vetores de .
(a) Verifique se está em .
(b) Determine uma base para .
© Determine uma base para que possua dois vetores de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um subespaço gerado pelos vetores no espaço . Precisamos resolver três partes:
a) Verificar se o vetor está em .
b) Encontrar uma base para .
c) Determinar uma base para que inclua dois vetores de .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como combinação linear, subespaços, e bases de vetores. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Verificar se está em .
Primeiro, vamos entender o que significa estar em . Isso quer dizer que pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores que geram , ou seja, existe um conjunto de escalares tais que:
Vamos montar um sistema de equações para encontrar .
Escrevendo componente por componente:
A quarta equação nos diz que 0 = 0, que é sempre verdadeira, então não nos dá informação adicional.
Vamos resolver as três primeiras equações:
Primeiro, subtraímos a equação 1 da equação 2 para eliminar :
Agora sabemos que (Vamos chamar de equação 4).
Vamos usar a equação 1 para expressar :
Substituindo da equação 4:
Agora, vamos substituir e na equação 3:
Até aqui, temos:
Não há restrição para , o que significa que o sistema tem infinitas soluções. Portanto, existe pelo menos um conjunto de que satisfaz , o que significa que está em .

Passo 3

Parte (b): Determinar uma base para .
Para encontrar uma base para , precisamos identificar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem .
Começamos com os vetores geradores:
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir para a forma escalonada.
Matriz:
Vamos realizar operações de linha:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
  1. Subtrair a primeira linha da terceira:
  1. A quarta linha já é zero.
Matriz agora:
  1. Multiplicar a segunda linha por -1:
  1. Subtrair a segunda linha da terceira:
Matriz agora:
  1. Adicionar 2 vezes a segunda linha na terceira:
  1. Agora temos uma terceira linha com apenas um número não-zero, 3. Isso indica que o terceiro vetor pode ser expresso como combinação dos anteriores, ou seja, é dependente.
Portanto, os vetores e são linearmente independentes, e os demais são combinações deles.
Logo, uma base para é:

Passo 4

Parte ©: Determinar uma base para que possua dois vetores de .
Queremos uma base para que inclua dois dos vetores de . Sabemos que tem vetores que já geram , que é um subespaço de dimensão 2.
Para formar uma base de , precisamos de 4 vetores linearmente independentes. Como já temos dois vetores de , vamos adicionar mais dois vetores que, juntos com os escolhidos de , sejam lineares independentes.
Vamos escolher os dois primeiros vetores de : e .
Agora, precisamos de mais dois vetores que não estejam em . Podemos escolher, por exemplo, e .
Vamos verificar a independência linear dos quatro vetores:
Colocando-os em uma matriz:
Realizando operações de linha, podemos verificar que essa matriz tem posto 4, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Portanto, uma base para que inclui dois vetores de é:

Resposta

a) Sim, o vetor está em .
b) Uma base para é .
c) Uma base para que inclui dois vetores de é .

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