Seja W o subespaço gerado pelos vetores de alpha=(1,2,1,0),(2,3,1,0),(0,0,1,0),(1,1,2,0).
(a) Verifique se v=(1,3,2,0) está em W.
(b) Determine uma base para W.
© Determine uma base para R^4 que possua dois vetores de alpha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um subespaço gerado pelos vetores no espaço . Precisamos resolver três partes:
a) Verificar se o vetor está em .
b) Encontrar uma base para .
c) Determinar uma base para que inclua dois vetores de .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como combinação linear, subespaços, e bases de vetores. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Verificar se v = a(1,2,1,0) + b(2,3,1,0) + c(0,0,1,0) + d(1,1,2,0) está em (3 - 1) = (2a - a) + (3b - 2b) + (d - d) .
Primeiro, vamos entender o que significa 2 = a + b estar em d = 1 - a - 2b . Isso quer dizer que d = 1 - (2 - b) - 2b = 1 - 2 + b - 2b = -1 - b pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores que geram 2 = (2 - b) + b + c + 2(-1 - b) , ou seja, existe um conjunto de escalares 2 = 2 - b + b + c - 2 - 2b tais que:
2 = (2 - 2) + ( - b + b) + c - 2b
Vamos montar um sistema de equações para encontrar 2 = c - 2b .
Escrevendo componente por componente:
  1. c = 2 + 2b
  2. a = 2 - b d = -1 - b c = 2 + 2b
A quarta equação nos diz que 0 = 0, que é sempre verdadeira, então não nos dá informação adicional.
Vamos resolver as três primeiras equações:
Primeiro, subtraímos a equação 1 da equação 2 para eliminar :
Agora sabemos que (Vamos chamar de equação 4).
Vamos usar a equação 1 para expressar :
Substituindo da equação 4:
Agora, vamos substituir e na equação 3:
Até aqui, temos:
Não há restrição para , o que significa que o sistema tem infinitas soluções. Portanto, existe pelo menos um conjunto de que satisfaz , o que significa que está em .

Passo 3

Parte (b): Determinar uma base para alpha = (1,2,1,0), (2,3,1,0), (0,0,1,0), (1,1,2,0) .
Para encontrar uma base para 1 & 2 & 0 & 1 2 & 3 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 , precisamos identificar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem R2 = R2 - 2R1 Rightarrow R2 = (2-2cdot1, 3-2cdot2, 0-2cdot0, 1-2cdot1) = (0, -1, 0, -1) .
Começamos com os vetores geradores:
R3 = R3 - R1 Rightarrow R3 = (1-1, 1-2, 1-1, 2-0) = (0, -1, 0, 2)
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir para a forma escalonada.
Matriz:
1 & 2 & 0 & 1 0 & -1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0
Vamos realizar operações de linha:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
R2 = -R2 Rightarrow (0, 1, 0, 1)
  1. Subtrair a primeira linha da terceira:
R3 = R3 - R2 Rightarrow (0, -1 -1, 0 -0, 2 -1) = (0, -2, 0, 1)
  1. A quarta linha já é zero.
Matriz agora:
1 & 2 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & -2 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0
  1. Multiplicar a segunda linha por -1:
R3 = R3 + 2R2 Rightarrow (0, -2 + 2cdot1, 0 + 2cdot0, 1 + 2cdot1) = (0, 0, 0, 3)
  1. Subtrair a segunda linha da terceira:
(1,2,1,0), (2,3,1,0)
Matriz agora:
  1. Adicionar 2 vezes a segunda linha na terceira:
  1. Agora temos uma terceira linha com apenas um número não-zero, 3. Isso indica que o terceiro vetor pode ser expresso como combinação dos anteriores, ou seja, é dependente.
Portanto, os vetores e são linearmente independentes, e os demais são combinações deles.
Logo, uma base para é:

Passo 4

Parte ©: Determinar uma base para (1,2,1,0), (2,3,1,0), (0,0,0,1), (0,0,1,1) que possua dois vetores de 1 & 2 & 0 & 0 2 & 3 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 1 .
Queremos uma base para (1,2,1,0), (2,3,1,0), (0,0,0,1), (0,0,1,1) que inclua dois dos vetores de . Sabemos que tem vetores que já geram , que é um subespaço de dimensão 2.
Para formar uma base de , precisamos de 4 vetores linearmente independentes. Como já temos dois vetores de , vamos adicionar mais dois vetores que, juntos com os escolhidos de , sejam lineares independentes.
Vamos escolher os dois primeiros vetores de : e .
Agora, precisamos de mais dois vetores que não estejam em . Podemos escolher, por exemplo, e .
Vamos verificar a independência linear dos quatro vetores:
Colocando-os em uma matriz:
Realizando operações de linha, podemos verificar que essa matriz tem posto 4, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Portanto, uma base para que inclui dois vetores de é:

Resposta

a) Sim, o vetor está em .
b) Uma base para é .
c) Uma base para que inclui dois vetores de é .

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