Exercício 5 (Bônus, 1 ponto). Enuncie e prove o Teorema do valor médio de Lagrange.

Passo 1

Beleza! Você me pediu para enunciar e provar o Teorema do Valor Médio de Lagrange. Esse teorema faz parte do cálculo diferencial e relaciona o comportamento de uma função em um intervalo com a sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, diferenciáveis e também usar o Teorema de Rolle na prova.

Passo 2

Primeiro, vamos enunciar o Teorema do Valor Médio de Lagrange:
Teorema do Valor Médio de Lagrange:
Seja uma função que satisfaz as seguintes condições:
  1. é contínua no intervalo fechado .
  2. é diferenciável no intervalo aberto .
Então, existe pelo menos um número em tal que:

Passo 3

Agora, vamos provar esse teorema. A prova usa o Teorema de Rolle, então vamos relembrar rapidamente o que ele diz:
Teorema de Rolle:
Se uma função é contínua no intervalo , diferenciável em e , então existe pelo menos um número em tal que .
Prova do Teorema do Valor Médio de Lagrange:
  1. Construção da Função Auxiliar:
    Vamos definir uma nova função baseada na função . A ideia é transformar o problema para aplicar o Teorema de Rolle.
    Aqui, é a inclinação da reta que liga os pontos e .
  2. Verificando as Condições do Teorema de Rolle para :
    • Continuidade: Como é contínua em e a função linear também é contínua, é contínua em .
    • Diferenciabilidade: é diferenciável em e a função linear é diferenciável em todo lugar, então é diferenciável em .
    • Valores nos Extremos Iguais: Calculando a diferença: Então, .
  3. Aplicando o Teorema de Rolle:
    Como todas as condições estão satisfeitas, existe pelo menos um número em tal que:
    Calculando a derivada de :
    Então, para :

Resposta

Assim, provamos que existe pelo menos um número em tal que , conforme o Teorema do Valor Médio de Lagrange.

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