Exercício 5 (Bônus, 1 ponto). Enuncie e prove o Teorema do valor médio de Lagrange.
Passo 1
Beleza! Você me pediu para enunciar e provar o Teorema do Valor Médio de Lagrange. Esse teorema faz parte do cálculo diferencial e relaciona o comportamento de uma função em um intervalo com a sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, diferenciáveis e também usar o Teorema de Rolle na prova.
Passo 2
Primeiro, vamos enunciar o Teorema do Valor Médio de Lagrange:
Teorema do Valor Médio de Lagrange:
Seja uma função que satisfaz as seguintes condições:
Seja
-
é contínua no intervalo fechado . -
é diferenciável no intervalo aberto .
Então, existe pelo menos um número
em
tal que:
Passo 3
Agora, vamos provar esse teorema. A prova usa o Teorema de Rolle, então vamos relembrar rapidamente o que ele diz:
Teorema de Rolle:
Se uma função é contínua no intervalo
, diferenciável em
e
, então existe pelo menos um número
em
tal que
.
Se uma função
Prova do Teorema do Valor Médio de Lagrange:
-
Construção da Função Auxiliar:
Vamos definir uma nova funçãobaseada na função . A ideia é transformar o problema para aplicar o Teorema de Rolle. Aqui,é a inclinação da reta que liga os pontos e . -
Verificando as Condições do Teorema de Rolle para
: - Continuidade: Como
é contínua em e a função linear também é contínua, é contínua em . - Diferenciabilidade:
é diferenciável em e a função linear é diferenciável em todo lugar, então é diferenciável em . - Valores nos Extremos Iguais:
Calculando a diferença: Então, .
- Continuidade: Como
-
Aplicando o Teorema de Rolle:
Como todas as condições estão satisfeitas, existe pelo menos um númeroem tal que: Calculando a derivada de: Então, para:
Resposta
Assim, provamos que existe pelo menos um número
em
tal que
, conforme o Teorema do Valor Médio de Lagrange.