Mostre que:
sumn=1^infty 1(2 n-1)(2 n+1)=12
Sugestão: Encontre as somas parciais S1, S2, S3, S4, ldots e use o padrão estabelecido para escrever uma fórmula para a soma parcial dos n primeiros termos(Sn). Tome o limite n infty em Sn.

Passo 1

Beleza, temos uma série infinita e precisamos mostrar que ela soma . Vamos usar o conceito de séries telescópicas e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar o termo geral 1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1 em frações mais simples. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(2n+1) + B(2n-1) para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Agora, vamos expandir e organizar os termos:
1 = (2A + 2B)n + (A - B)
Para que essa igualdade seja válida para todo 2A + 2B = 0 (coeficiente de n) , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:
A - B = 1 (termo constante)

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Então,

Passo 6

Agora, substituímos 1(2n-1)(2n+1) = 1/22n-1 - 1/22n+1 e 1(2n-1)(2n+1) = 12 ( 12n-1 - 12n+1 ) na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos somar os primeiros Sn = sumk=1^n 12 ( 12k-1 - 12k+1 ) termos da série usando essa decomposição:
Sn = 12 ( sumk=1^n 12k-1 - sumk=1^n 12k+1 )
Distribuindo a soma:

Passo 8

Observamos que a soma se “telescopia”, ou seja, muitos termos se cancelam:
Sn = 12 ( 1 - 12n+1 )
Os termos intermediários se anulam, restando apenas o primeiro e o último.

Passo 9

Finalmente, para encontrar a soma da série infinita, tomamos o limite quando limn to infty Sn = limn to infty 12 ( 1 - 12n+1 ) = 12 (1 - 0) = 12 tende ao infinito:

Resposta

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