Mostre que:
Sugestão: Encontre as somas parciais
e use o padrão estabelecido para escrever uma fórmula para a soma parcial dos
primeiros
. Tome o limite
em
.
Passo 1
Beleza, temos uma série infinita
e precisamos mostrar que ela soma
. Vamos usar o conceito de séries telescópicas e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar o termo geral
em frações mais simples. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir e organizar os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
- Então,
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos somar os primeiros
termos da série usando essa decomposição:
Distribuindo a soma:
Passo 8
Observamos que a soma se “telescopia”, ou seja, muitos termos se cancelam:
Os termos intermediários se anulam, restando apenas o primeiro e o último.
Passo 9
Finalmente, para encontrar a soma da série infinita, tomamos o limite quando
tende ao infinito: