Exercício 4 (1 ponto). Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular:
Aqui estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar as séries de Taylor para aproximar o seno de x perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando x está perto de 0, podemos aproximar
usando a série de Taylor:
Isso significa que para valores de x muito pequenos,
é aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão do denominador
:
Então, o denominador fica aproximadamente
.
Passo 4
Vamos fazer o mesmo no numerador, que é
:
Para x próximo de 0, o termo
é muito pequeno, então podemos aproximar
.
Passo 5
Agora, substituímos as aproximações no limite:
Resposta
O limite é
.