Exercício 4 (1 ponto). Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0 x^2 sin (x)sin (x)-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular:
lim x 0 x^2 sin (x)sin (x)-x
Aqui estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar as séries de Taylor para aproximar o seno de x perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando x está perto de 0, podemos aproximar sin(x) approx x - x^36 + cdots usando a série de Taylor:
Isso significa que para valores de x muito pequenos, é aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão do denominador sin(x) - x approx (x - x^36) - x = -x^36 :
Então, o denominador fica aproximadamente .

Passo 4

Vamos fazer o mesmo no numerador, que é x^2 sin(x) approx x^2 (x - x^36) = x^3 - x^56 :
Para x próximo de 0, o termo é muito pequeno, então podemos aproximar .

Passo 5

Agora, substituímos as aproximações no limite:
lim x 0 x^2 sin (x)sin (x)-x approx lim x 0 x^3-x^36 = lim x 0 x^3-x^36 = lim x 0 (-6) = -6

Resposta

O limite é .

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