Exercício 3 (2,5 pontos). Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raízes e frações, então vamos precisar entender um pouco sobre domínios, comportamento da função e pontos importantes como interceptos e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está definida. O denominador
precisa ser real e diferente de zero:
-
→ → .
Então, o domínio éentre -1 e 1.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos:
- Intercepto com o eixo y: é o valor de
.
.
Então, o gráfico passa pela origem (0,0). - Interceptos com o eixo x: São os mesmos que o intercepto com o eixo y, já que
apenas em .
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função perto dos limites do domínio, ou seja, quando
se aproxima de 1 e -1:
- Quando
se aproxima de 1 ou -1, o denominador tende a zero, fazendo crescer sem limites. Isso indica que há assíntotas verticais em e .
Passo 5
Vamos verificar a simetria da função. Observe que
porque
e
não mudam com o sinal de
. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 6
Por fim, vamos considerar como a função se comporta entre -1 e 1:
- No intervalo
, a função é sempre positiva porque tanto o numerador quanto o denominador são positivos. - À medida que
se afasta de 0, aumenta, confirmando as assíntotas verticais.
Resposta
O gráfico de
é uma curva simétrica em relação ao eixo y, passando pela origem. À medida que
se aproxima de 1 e -1, a função cresce sem limites, indicando assíntotas verticais nesses pontos. O domínio da função é
, e a função é sempre positiva nesse intervalo.
Exercícios relacionados
Exercício 4 (1 ponto). Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Exercício 1 (4 pontos). Esboce o gráfico da função
Exercício 5 (Bônus, 1 ponto). Enuncie e prove o Teorema do valor médio de Lagrange.
Mostre que:
Sugestão: Encontre as somas parciais
e use o padrão estabelecido para escrever uma fórmula para a soma parcial dos
primeiros
. Tome o limite
em
.