Exercício 3 (2,5 pontos). Esboce o gráfico da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raízes e frações, então vamos precisar entender um pouco sobre domínios, comportamento da função e pontos importantes como interceptos e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de a função está definida. O denominador precisa ser real e diferente de zero:
  • .
    Então, o domínio é entre -1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos:
  • Intercepto com o eixo y: é o valor de .
    .
    Então, o gráfico passa pela origem (0,0).
  • Interceptos com o eixo x: São os mesmos que o intercepto com o eixo y, já que apenas em .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função perto dos limites do domínio, ou seja, quando se aproxima de 1 e -1:
  • Quando se aproxima de 1 ou -1, o denominador tende a zero, fazendo crescer sem limites. Isso indica que há assíntotas verticais em e .

Passo 5

Vamos verificar a simetria da função. Observe que porque e não mudam com o sinal de . Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 6

Por fim, vamos considerar como a função se comporta entre -1 e 1:
  • No intervalo , a função é sempre positiva porque tanto o numerador quanto o denominador são positivos.
  • À medida que se afasta de 0, aumenta, confirmando as assíntotas verticais.

Resposta

O gráfico de é uma curva simétrica em relação ao eixo y, passando pela origem. À medida que se aproxima de 1 e -1, a função cresce sem limites, indicando assíntotas verticais nesses pontos. O domínio da função é , e a função é sempre positiva nesse intervalo.

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Mostre que:
Sugestão: Encontre as somas parciais e use o padrão estabelecido para escrever uma fórmula para a soma parcial dos primeiros . Tome o limite em .