Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação cartesiana das curvas dadas pelas equações paramétricas
e
, com
variando de -2 a 2. A matéria envolvida aqui é o estudo de curvas no plano xy utilizando parametrização. Para resolver, vamos eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a equação
. Nosso objetivo é isolar
para poder substituir na outra equação. Como
, podemos dizer que
ou
. Entretanto, como
varia de -2 a 2,
será sempre não negativo (
).
Passo 3
Agora, vamos para a equação de
:
. Sabemos que
, então podemos substituir isso na equação de
:
Isso nos dá a relação direta entre
e
, eliminando o parâmetro
.
Passo 4
Assim, a equação cartesiana da curva é
. Essa é a equação de uma reta com inclinação 1 e interceptação em -1 no eixo y. Agora, vamos esboçar o gráfico dessa reta considerando os valores de
de -2 a 2.
Passo 5
Quando
, temos:
Então, o ponto é (4, 3).
Quando
, igualmente:
Portanto, o intervalo de
nos dá pontos do tipo (4, 3). Entretanto, como
varia de -2 a 2, todos os valores de
de 0 a 4 são possíveis, e
varia de -1 a 3.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. O gráfico é uma reta que passa pelos pontos de
variando de 0 a 4 e
de -1 a 3, inclinada positivamente com inclinação 1 e interceptação em (0, -1).