Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação cartesiana das curvas dadas pelas equações paramétricas e , com variando de -2 a 2. A matéria envolvida aqui é o estudo de curvas no plano xy utilizando parametrização. Para resolver, vamos eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a equação . Nosso objetivo é isolar para poder substituir na outra equação. Como , podemos dizer que ou . Entretanto, como varia de -2 a 2, será sempre não negativo ( ).

Passo 3

Agora, vamos para a equação de : . Sabemos que , então podemos substituir isso na equação de :
Isso nos dá a relação direta entre e , eliminando o parâmetro .

Passo 4

Assim, a equação cartesiana da curva é . Essa é a equação de uma reta com inclinação 1 e interceptação em -1 no eixo y. Agora, vamos esboçar o gráfico dessa reta considerando os valores de de -2 a 2.

Passo 5

Quando , temos:
Então, o ponto é (4, 3).
Quando , igualmente:
Portanto, o intervalo de nos dá pontos do tipo (4, 3). Entretanto, como varia de -2 a 2, todos os valores de de 0 a 4 são possíveis, e varia de -1 a 3.

Resposta

A equação cartesiana da curva é . O gráfico é uma reta que passa pelos pontos de variando de 0 a 4 e de -1 a 3, inclinada positivamente com inclinação 1 e interceptação em (0, -1).

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Seja :
, utilizando derivadas parciais calcule:
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  • Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    b) Dica: Nesse exercicio é necessário usar a definição . Isso é, pri-
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
  • Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    а)
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição . Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    a) Lembre da propriedade do logaritmo: .