Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação cartesiana das curvas dadas pelas equações paramétricas e , com variando de -2 a 2. A matéria envolvida aqui é o estudo de curvas no plano xy utilizando parametrização. Para resolver, vamos eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a equação . Nosso objetivo é isolar para poder substituir na outra equação. Como , podemos dizer que ou . Entretanto, como varia de -2 a 2, será sempre não negativo ().
Passo 3
Agora, vamos para a equação de : . Sabemos que , então podemos substituir isso na equação de :
Isso nos dá a relação direta entre e , eliminando o parâmetro .
Passo 4
Assim, a equação cartesiana da curva é . Essa é a equação de uma reta com inclinação 1 e interceptação em -1 no eixo y. Agora, vamos esboçar o gráfico dessa reta considerando os valores de de -2 a 2.
Passo 5
Quando , temos:
Então, o ponto é (4, 3).
Quando , igualmente:
Portanto, o intervalo de nos dá pontos do tipo (4, 3). Entretanto, como varia de -2 a 2, todos os valores de de 0 a 4 são possíveis, e varia de -1 a 3.
Resposta
A equação cartesiana da curva é . O gráfico é uma reta que passa pelos pontos de variando de 0 a 4 e de -1 a 3, inclinada positivamente com inclinação 1 e interceptação em (0, -1).